Dérivation et inégalités (1/2)

Exercice 1.
Montrer que, pour tout {x\ge0} : {x-\dfrac{x^{3}}{3!}\le\sin(x)\le x-\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!}}
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Exercice 2.
Montrer que : {\forall x>0,\;\Bigl(x+\dfrac{1}{x}\Bigr)\arctan(x)>1}.
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Exercice 3.
Montrer que, pour {x>0} (et {x\ne1}), on a : {\dfrac{x\ln x}{x^{2}-1}\lt \dfrac{1}{2}}.
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Exercice 4.
Montrer que, pour {x>0}, on a : {\ln\Bigl(1+\sqrt{1+x^{2}}\Bigr)\lt \dfrac{1}{x}+\ln(x)}.
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Exercice 5.
Prouver que pour {x\ge0}, on a : {0\le 2x+\dfrac{x^{3}}{6(1+x)}-(x+2)\ln(1+x)\le\dfrac{x^{5}}{60}}
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