Douze calculs de primitives

Exercice 1.
Calculer les primitives :\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{x-1}{\sqrt x}{\,\text{d}x}\quad\displaystyle\int x^2(1-\sqrt[3]{x})\,\text{d}x\quad\displaystyle\int\dfrac{(1-\sqrt x)^2}{\sqrt[3]{x}}\,\text{d}x\end{array}
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On procède par développement et par linéarisation :
{\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{x-1}{\sqrt x}\,\text{d}x&=\displaystyle\int\sqrt x\,\text{d}x-\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt x}\,\text{d}x\\\\&=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-2\sqrt x+\lambda\\\\\displaystyle\int x^2(1-\sqrt[3]{x})\,\text{d}x&=\displaystyle\int\bigl(x^2-x^{7/3}\bigr)\,\text{d}x\\\\&=\dfrac{x^3}3-\dfrac{3}{10}x^{10/3}+\lambda=x^3\Bigl(\dfrac{1}3-\dfrac{3}{10}\sqrt[3]{x}\Bigr)+\lambda\\\\\displaystyle\int\dfrac{(1-\sqrt x)^2}{\sqrt[3]{x}}\,\text{d}x&=\displaystyle\int\Bigl(x^{-1/3}-2x^{1/6}+x^{2/3}\Bigr)\,\text{d}x\\\\&=\dfrac32x^{2/3}-\dfrac{12}7x^{7/6}+\dfrac35x^{5/3}+\lambda\end{array}}

Exercice 2.
Calculer les primitives :
{\begin{array}{l}\displaystyle\int\Bigl(1-\dfrac1{\sqrt[3]{x}}\Bigr)^2\,\text{d}x\quad\displaystyle\int\Bigl(x^2+\dfrac1{x^2}\Bigr)^2\,\text{d}x\quad\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}\end{array}}
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On procède par développement et par linéarisation :
{\begin{array}{rl}\displaystyle\int\Bigl(1-\dfrac1{\sqrt[3]{x}}\Bigr)^2\,\text{d}x&=\displaystyle\int\Bigl(1-2x^{-1/3}+x^{-2/3}\Bigr)\,\text{d}x\\\\&=x-3x^{2/3}+3x^{1/3}+\lambda\\\\\displaystyle\int\Bigl(x^2+\dfrac1{x^2}\Bigr)^2\,\text{d}x&=\displaystyle\int\Bigl(x^4+2+\dfrac1{x^4}\Bigr)\,\text{d}x\\\\&=\dfrac{x^5}5+2x-\dfrac{1}{3x^3}+\lambda\\\\\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}&=\displaystyle\int\bigl(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\bigr)\,\text{d}x\\\\&=\dfrac23\bigl(x^{3/2}-(x-1)^{3/2}\bigr)+\lambda\end{array}}

Exercice 3.
Calculer les primitives : {\displaystyle\int\sin^3x\cos x\,\text{d}x\quad\displaystyle\int\sin^3x\cos x\,\text{d}x\quad\displaystyle\int\dfrac{\sin x\,\text{d}x}{\cos^2 x}}
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On procède par des changements de variables assez évidents :

  • Avec {t=\sin x} : {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\sin^3x\cos x\,\text{d}x&=\displaystyle\int t^3\,\text{d}t=\dfrac{t^4}4+\lambda\\\\&=\dfrac{\sin^4x}4+\lambda\end{array}}
  • Avec {t=a^2+x^2}: {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{x\,\text{d}x}{(a^2+x^2)^3}&=\dfrac12\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}t}{t^3}=-\dfrac{1}{4t^2}+\lambda\\\\&=-\dfrac{1}{4(a^2+x^2)^2}+\lambda\end{array}}
  • Avec {t=\cos x}: {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}\,\text{d}x&=\displaystyle\int\dfrac{-\,\text{d}t}{t^2}=\dfrac1t+\lambda\\\\&=\dfrac1{\cos x}+\lambda\end{array}}

Exercice 4.
Calculer les primitives : {\displaystyle\int x(1+x^2)^5\,\text{d}x\quad \displaystyle\int x^2\sqrt{1+x^3}\,\text{d}x\quad \displaystyle\int\tan x\,\text{d}x}
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On procède par des changements de variables assez évidents :

  • Avec {t=1+x^2} : {\begin{array}{rl}\displaystyle\int x(1+x^2)^5\,\text{d}x&=\dfrac12\displaystyle\int t^5\,\text{d}t=\dfrac{t^6}{12}+\lambda\\\\&=\dfrac{(1+x^2)^6}{12}+\lambda\end{array}}
  • Avec {t=1+x^3} : {\begin{array}{rl}\displaystyle\int x^2\sqrt{1+x^3}\,\text{d}x&=\dfrac13\displaystyle\int\sqrt t\,\text{d}t=\dfrac29t^{3/2}+\lambda\\\\&=\dfrac29(1+x^3)^{3/2}+\lambda\end{array}}
  • Avec {t=\cos x} : {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\tan x\,\text{d}x&=\displaystyle\int\dfrac{-\,\text{d}t}{t}=-\ln\left|{t}\right|+\lambda\\\\&=-\ln\left|{\cos x}\right|+\lambda\end{array}}