Calculs de dérivées (1/2)

Exercice 1.
Simplfifier la somme {S_n(x)=1+2x+3x^3+\cdots+nx^{n-1}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
D’une part, on a {S_n(1)=\dfrac12\,n(n+1)}.

D’autre part, pour {x\ne1} : {S_n(x)=\bigl(1+x+x^2+\cdots+x^n\bigr)'=\Bigl(\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}\Bigr)'}Ainsi, toujours pour x\ne 1 : {\begin{array}{rl}S_n(x)&=\dfrac{(n+1)x^n(x-1)-(x^{n+1}-1)}{(x-1)^2}\\\\&=\dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}\end{array}}

Exercice 2.
Calculer la dérivée de {x\mapsto f(x)=\sqrt{\dfrac{1+\sin{\sqrt x}}{1-\sin{\sqrt x}}}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
La fonction f est définie pour tout {x\ge0} tel que {x^2\ne\dfrac\pi2\;(2\pi)}.

Elle est dérivable pour tout {x} tel que {x^2\ne\dfrac\pi2\;(\pi)}.

Notons {\mathcal D} le domaine de dérivabilité de {f}.

Pour tout {x} de {\mathcal D}, on a :
{\begin{array}{rl}f(x)=\sqrt{\dfrac{(1+\sin{\sqrt x})^2}{1-\sin^2{\sqrt x}}}=\left|{\dfrac{1+\sin{\sqrt x}}{\cos{\sqrt x}}}\right|=\left|\dfrac{1}{\cos\sqrt x}\right|+\tan\sqrt x\end{array}}Notons {\varepsilon=\pm1} le signe de {\cos\sqrt x}.

On a donc {f(x)=\varepsilon\Bigl(\dfrac1{\cos{\sqrt x}}+\tan\sqrt x\Bigr)}.

Il en découle : {\begin{array}{rl}f'(x)&=\dfrac{\varepsilon}{2\sqrt x}\left(\dfrac{\sin\sqrt x}{\cos^2\sqrt x}+\dfrac1{\cos^2\sqrt x}\right)\\\\&=\dfrac{\varepsilon}{2\sqrt x}\,\dfrac{1+\sin\sqrt x}{\cos^2\sqrt x}\\\\&=\dfrac{\varepsilon}{2\sqrt x(1-\sin\sqrt x)}\end{array}}

Exercice 3.
Calculer la dérivée de {x\mapsto f(x)=\cos x(1+\tan x\,\tan\dfrac x2)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Le piège est de dériver un produit, alors qu’il faut d’abord simplifier.

On a successivement : {\begin{array}{rl}f(x)&=\cos x+\sin x\tan\dfrac x2\\\\&=\cos x+2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2\tan\dfrac x2\\\\&=\cos x+2\sin^2\dfrac x2=1\end{array}}Ainsi {f} est constante sur son domaine, donc sa dérivée est nulle…

Exercice 4.
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
{\begin{array}{rl}f(x)=\ln\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1}&g(x)=\ln\cos\dfrac1x\\\\h(x)=\ln\dfrac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}&k(x)=\ln\ln\ln x\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

  1. La fonction {f} est définie dérivable sur {\mathbb{R}^{*}} (et paire).

    Pour {x\ne0}, on a {f(x)=v(u(x))} avec {\begin{cases}v(t)=\ln\dfrac{t-1}{t+1}\\ u(x)=\sqrt{1+x^2}\end{cases}}

    On a {u'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}, et {v(t)=\ln\left|{t-1}\right|-\ln\left|{t+1}\right|}.

    Il en résulte : {v'(t)=\dfrac1{t-1}-\dfrac1{t+1}=\dfrac2{t^{2}-1}}.

    Pour {x\ne0}, on en déduit : {\begin{array}{rl}f'(x)&=u'(x)v'(u(x))=\dfrac{2u'(x)}{u^{2}(x)-1}\\\\&=\dfrac{2x}{x^{2}\sqrt{1+x^{2}}}=\dfrac{2}{x\sqrt{1+x^{2}}}\end{array}}

  2. La fonction {g} est définie dérivable par intervalles.

    Sur chacun d’eux, {g(x)=\ln u(x)}{u(x)=\cos\dfrac1x} donc {u'(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\sin\dfrac1x}.

    On en déduit : {g'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{1}{x^{2}}\tan\dfrac1x}.

  3. La fonction {h} est définie dérivable sur {]-1,0[\,\cup\,]0,1[}.

    On a {h(x)= v(u(x))}{v(t)=\ln\dfrac{t-1}{t-1}} et {u(x)=\sqrt{\dfrac{1+x^{2}}{1-x^{2}}}}.

    On a {v'(t)=\dfrac2{t^{2}-1}} et {\Bigl(\dfrac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\Bigr)'=\dfrac{4x}{(1-x^{2})^{2}}}.

    Ainsi {u'(x)=\dfrac{2x}{(1-x^{2})^{2}}\sqrt{\dfrac{1-x^{2}}{1+x^{2}}}}

    On a {u^{2}(x)-1=\dfrac{2x^{2}}{1-x^{2}}}. On en déduit : {\begin{array}{rl}h'(x)&=\dfrac{2u'(x)}{u^{2}(x)-1}=\dfrac{2}{x(1-x^{2})}\sqrt{\dfrac{1-x^{2}}{1+x^{2}}}\\\\&=\dfrac{2}{x\sqrt{1-x^{4}}}\end{array}}

  4. La fonction {k} est définie dérivable pour {x>\text{e}}. On trouve : {\begin{array}{rl}k'(x)&=\dfrac{(\ln\ln x)'}{\ln\ln x}=\dfrac{(\ln x)'}{\ln x}\,\dfrac{1}{\ln\ln x}\\\\&=\dfrac1{x(\ln x)(\ln \ln x)}\end{array}}