Calculs de dérivées (2/2)

Exercice 1.
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
{\begin{array}{l}1.\ f(x)=\text{e}^{1/x}\,\sqrt{|x(x+1)|}\qquad2.\ g(x)=\text{e}^{\text{e}^x}\\\\3.\ h(x)=\exp\Bigl(\dfrac1{\sqrt{e^2-x^2}}\Bigr)\end{array}}
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  1. La fonction {f} est dérivable pour {x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}}.

    Pour {x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}}, on a {f(x)>0} et : {\ln f(x)=\dfrac1x+\dfrac{\ln{\left|{x}\right|}}2+\dfrac{\ln\left|{x+1}\right|}{2}}On en déduit :{\begin{array}{rl}\dfrac{f'(x)}{f(x)}&=-\dfrac1{x^{2}}+\dfrac1{2x}+\dfrac{1}{2(x+1)}\\\\&=\dfrac{-2(x+1)+x(x+1)+x^{2}}{2x^{2}(x+1)}\\\\&=\dfrac{2x^{2}-x-2}{2x^{2}(x+1)}\end{array}}Finalement, pour tout {x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}} : {\begin{array}{rl}f'(x)&=\dfrac{2x^{2}-x-2}{2x^{2}(x+1)}f(x)\\\\&=\dfrac{2x^{2}-x-2}{2x^{2}(x+1)}\,\text{e}^{1/x}\,\sqrt{|x(x+1)|}\end{array}}

  2. La fonction {g} est dérivable sur {\mathbb{R}}, et {g'(x)=\text{e}^{x}\text{e}^{\text{e}^x}=\text{e}^{x+\text{e}^{x}}}.
  3. La fonction {h} est dérivable sur {]-\text{e},\text{e}[}.

    On a {\ln h(x)=(\text{e}^{2}-x^{2})^{-1/2}} donc {\dfrac{h'(x)}{h(x)}=x(\text{e}^{2}-x^{2})^{-3/2}}.

    Ainsi, pour tout x de ]-\text{e},\text{e}[ : {\begin{array}{rl}h'(x)&=x(\text{e}^{2}-x^{2})^{-3/2}h(x)\\\\&=\dfrac{x}{(\text{e}^{2}-x^{2})^{3/2}}\,\exp\Bigl(\dfrac1{\sqrt{\text{e}^2-x^2}}\Bigr)\end{array}}

Exercice 2.
Calculer la dérivée des fonctions suivantes : {\begin{array}{ll}1.\ f(x)=x^{(x^x)}&2.\ g(x)=x^{1/x}\\\\3.\ h(x)=\Big(\dfrac xn\Big)^{nx}&4.\ k(x)=\Big(\dfrac{\sin x}x\Big)^{x/{\sin x}}\end{array}}
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  1. On trouve successivement : {\begin{array}{rl}f'(x)&=(e^{x\ln x}\ln x)'f(x)\\\\&=\Bigl((1+\ln x)x^{x}\ln x+x^{x-1}\Bigr)f(x)\\\\&=\Bigl(x\ln^{2}x+x\ln x+1\Bigr)x^{x^{x}+x-1}\end{array}}

  2. On trouve successivement : {\begin{array}{rl}g(x)&=x^{1/x}=e^{\ln x/x}\\\\&\Rightarrow g'(x)=\Bigl(\dfrac{\ln x}{x}\Bigr)'g(x)\\\\&\qquad=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}g(x)=(1-\ln x)x^{(1/x)-2}\end{array}}

  3. On trouve successivement : {\begin{array}{rl}h(x)&=\Big(\dfrac xn\Big)^{nx}=\text{e}^{nx(\ln x-\ln n)}\\\\&\Rightarrow h'(x)=n(\ln x-\ln n+1)h(x)\\\\&\qquad=n\Bigl(\ln\dfrac{x}{n}+1\Bigr)\Big(\dfrac xn\Big)^{nx}\end{array}}

  4. On fait travailler Maple à notre place:

    {\dfrac{\left({\dfrac {\sin(x)}{x}} \right) ^{x/\sin(x)} \left( \sin \left( x \right) -x\cos \left( x \right) \right) \left( \ln \left( {\dfrac {\sin \left( x \right) }{x}} \right) -1 \right) }{\sin(x)^{2}}}

Exercice 3.
Calculer la dérivée des fonctions suivantes : {\begin{array}{ll}1.\ f(x)=\,\text{sh} x+\dfrac13\,\text{sh}^3x&2.\ g(x)=\,\text{th} x-\dfrac13\,\text{th}^3x\\\\3.\ h(x)=\,\text{ch} x\cos x+\,\text{sh} x\sin x&4.\ k(x)=\dfrac{\,\text{ch} x-\cos x}{\,\text{sh} x+\sin x}\end{array}}
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Pour une fois, on se contente de faire travailler Maple à notre place :

{\left( \cosh \left( x \right) \right) ^{3}}

{1- \left( \tanh \left( x \right) \right) ^{4}}

{2\,\sinh \left( x \right) \cos \left( x \right)}

{\frac{2 \sin (x) \sinh (x)}{(\sin(x)+\sinh (x))^2}}

Exercice 4.
Soient k,n dans {\mathbb{N}}, avec {k\le n}.
Calculer {A(n,k)=\displaystyle\sum_{p=1}^n(-1)^p p^k\dbinom np}.
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On pose {f_k(x)=\displaystyle\sum_{p=1}^n(-1)^p p^k x^{p}\dbinom np}.

On constate que : {\forall k\in\{0,\ldots,n\},\;f_k(1)=A(n,k)}.

D’autre part, pour {k\in\{1,\ldots,n\}}, on a : {\begin{array}{rl}f_k(x)&=x\displaystyle\sum_{p=1}^n(-1)^p p^k x^{p-1}\dbinom np\\\\&=x\displaystyle\sum_{p=1}^n(-1)^p p^{k-1} p\,x^{p-1}\dbinom np\\\\&=xf'_{k-1}(x)\end{array}}Or {f_0(x)=\displaystyle\sum_{p=1}^n(-1)^p x^{p}\dbinom np=(1-x)^n-1}.

On en déduit {f_1(x)=xf_0'(x)=-nx(1-x)^{n-1}}.

De même : {f_2(x)=xf'_1(x)=n(n-1)\,x^2(1-x)^{n-2}-nx(1-x)^{n-1}}Une récurrence facile donne, pour {1\le k\le n} : {f_k(x)=(-1)^k\dfrac{n!}{(n-k)!}\,x^k(1-x)^{n-k}+o\big((1-x)^{n-k}\bigr)}Ainsi {f_k(1)=0} si {1\le k\le n-1} et {f_n(1)=(-1)^nn!}

Conclusion : {\begin{cases}A(n,0)=f_0(1)=-1\\A(n,n)=(-1)^nn!\\\forall\, k\in\{1,\ldots,n-1\},\; A(n,k)=0\end{cases}}