Borne Inf et borne Sup (2/2)

Exercice 1.
Soit {f\colon [0,1]\mapsto [0,1]} une fonction croissante.
Soit {E=\{x\in[0,1],\;f(x)\le x\}} et {\alpha=\inf(E)}.
Montrer que {f(\alpha)=\alpha}.
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Exercice 2.
Soit {E_{n}=\Big\{k+\dfrac{n}{k},\;k\in\mathbb{N}^{*}\Bigr\}}.

Montrer que {\inf(E_{n})\ge 2\sqrt{n}}. A-t-on {\min(E_{n})=2\sqrt{n}\,}?

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Exercice 3.
Soit {A,B} deux parties non vides majorées de {\mathbb{R}^{+}}.
Soit {AB=\{ab,\;(a,b)\in A\times B\}}.
Montrer que : {\sup(AB)=(\sup A)(\sup B)}.
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Exercice 4.
Calculer {\lambda=\displaystyle\inf_{t\in\mathbb{R}}\Bigl\{\sup_{x\in[0,1]}{|x^2+tx|}\Bigr\}}.
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