Sommes binomiales (1/3)

Publié le 03/11/17

Exercice 1.
Soit {n} un entier naturel. Calculer A et B, avec :
{\begin{array}{l}A=\dbinom n0+2\dbinom n2+\cdots+2^p\dbinom n{2p}+\cdots\\\\B=\dbinom n1+2\dbinom n3+\cdots+2^p\dbinom n{2p+1}+\cdots\end{array}}
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Exercice 2.
Calculer {A=\dbinom n1+2\dbinom n2+\cdots+n\dbinom nn= \displaystyle\sum_{k=1}^nk\dbinom nk}.

(on demande trois méthodes différentes)

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Exercice 3.
Calculer {B= \displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac 1{k+1}\dbinom nk}, avec deux méthodes différentes
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Exercice 4.
Calculer {C=\dbinom n1+2^2\dbinom n2+\cdots+n^2\dbinom nn= \displaystyle\sum_{k=1}^nk^2\dbinom{n}{k}}.

On donnera trois méthodes différentes!

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Exercice 5.
Soient {n} et {p} dans {\mathbb{N}}. Prouver que { \displaystyle\sum_{k=n}^p\dbinom kn=\dbinom {p+1}{n+1}}.

On donnera trois méthodes différentes.

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