Sommes binomiales (2/3)

Exercice 1.
Soient {nr,s} dans \mathbb{N}, avec {n\le r+s}.
Montrer que { \displaystyle\sum_{p+q=n}\dbinom rp\dbinom sq=\dbinom {r+s}n}. En déduire {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}^2}.
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Exercice 2.
Soient {n,p} dans \mathbb{N}, avec {0\le p\le n}.

Montrer que {\displaystyle\sum_{k=0}^{p}\dbinom{n}{k}\dbinom{n-k}{p-k}=2^p\dbinom np}.

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Exercice 3.
Soit {n,p,q} trois entiers tels que {0\le q\le p\le n}.

Montrer que { \displaystyle\sum_{k=q}^{n-p+q}\dbinom{k}{q}\dbinom{n-k}{p-q}=\dbinom{n+1}{p+1}}.

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Exercice 4.
Montrer que pour tout {n\in\mathbb{N}}, on a : { \displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{2n-k}n2^k=2^{2n}}.
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