Racines nièmes de l’unité (2/2)

Exercice 1.
Soit {z_1,\ldots,z_n} les solutions de {z^n=a}, où {|a|=1}.
On note A_k le point image de (1+z_k)^n.
Montrer que les points A_1,A_2,\ldots,A_n sont alignés.
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Si {a=\exp(i\,\theta)}, alors {z_k=\exp i\varphi_k}, où {\varphi_k=\dfrac\theta{n}+\dfrac{2k\pi}{n}}.

On a alors {1+z_k=2\cos\dfrac{\varphi_k}2\;\exp\left(i\dfrac{\varphi_k}2\right)}.

Il en résulte {(1+z_k)^n=2\cos^n\left(\dfrac{\varphi_k}2\right)\;\exp\left(i\dfrac{n\varphi_k}2\right)}.

De plus : {n\dfrac{\varphi_k}2=\dfrac{\,\theta}2+k\pi\Rightarrow\exp\left(i\dfrac{n\varphi_k}2\right)=(-1)^k\exp\dfrac{i\,\theta}2}.

Ainsi {(1+z_k)^n=2(-1)^k\,\cos^n\left(\dfrac{\varphi_k}2\right)\;\exp\dfrac{i\,\theta}2}.

On en déduit : {\arg(1+z_k)^n=\dfrac\theta2\pmod{\pi}}.

Les {A_k} sont donc sur la droite passant par 0, d’angle polaire {\dfrac\theta2}.

Exercice 2.
Calculer {\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(2-\omega_k)}, où les {\omega_k} sont les racines {n}-ièmes de l’unité.
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On a {X^n-1=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(X-\omega_k)}, donc {\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(2-\omega_k)=2^n-1}.

Exercice 3.
Résoudre {(z+i)^{n} = (z-i)^{n}}, avec {n} dans {\mathbb{N}^{*}}.
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On remarque que {z=i} n’est pas solution.

Pour {0\le k\le n}, on pose {\,\theta_k=\dfrac{k\pi}{n}} et {\omega_k=\text{e}^{2i\,\theta_k}}.

On a ensuite les équivalences : {\begin{array}{l}(z+i)^n=(z-i)^n\Leftrightarrow\Bigl(\dfrac{z+i}{z-i}\Bigr)^n=1\\\\\quad\Leftrightarrow\exists\, k\in[\![1,n]\!],\;\dfrac{z+i}{z-i}=\omega_k\ (k=0\text{\ est impossible})\\\\\quad\Leftrightarrow\exists\, k\in[\![1,n]\!],\;z=i\,\dfrac{\omega_k+1}{\omega_k-1}\\\\\quad\Leftrightarrow\exists k\in[\![1,n]\!]=i\dfrac{\text{e}^{2i\,\theta_k}+1}{\text{e}^{2i\,\theta_k}-1}=i\,\dfrac{2\cos\,\theta_k}{2i\sin\,\theta_k}=\dfrac{1}{\tan\,\theta_k}\end{array}}

Exercice 4.
Résoudre l’équation suivante dans \mathbb{C} :{1+2z+2z^2+\cdots+2z^k+\cdots+2z^{n-1}+z^n=0}
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On note que {z=1} n’est pas solution de {(E)}.

On an ensuite les équivalences : {\begin{array}{rl}(E)&\Leftrightarrow 2(1+z+\cdots+z^n)=z^n+1\\\\&\Leftrightarrow2\dfrac{z^{n+1}-1}{z-1}=z^n+1\\\\&\Leftrightarrow2(z^{n+1}-1)=z^{n+1}-z^{n}+z-1\\\\&\Leftrightarrow z^{n+1}+z^n-z-1=0\\\\&\Leftrightarrow (z^n-1)(z+1)=0\\\\&\Leftrightarrow (z^n=1\text{ ou }z=-1)\end{array}}L’ensemble des solutions de {(E)} est donc l’ensemble des racines {n}-èmes de l’unité privé de {z=1}, et augmenté de {z=-1} si {n} est impair.

Exercice 5.
Résoudre {(E): z^7+\displaystyle\binom{7}{2}z^5+\displaystyle\binom{7}{4}z^3+\displaystyle\binom{7}{6}z=0}.
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Pour {z\in\mathbb{C}} et {\varepsilon=\pm1}, on a {(1+\varepsilon z)^7=u+\varepsilon v} avec : {\begin{cases}u=\displaystyle\binom{7}{1}z^6+\displaystyle\binom{7}{3}z^4+\displaystyle\binom{7}{5}z^2+z^7\\\\v=z^7+\displaystyle\binom{7}{2}z^5+\displaystyle\binom{7}{4}z^3+\displaystyle\binom{7}{6}z\end{cases}}On en déduit {v=\dfrac{(1+z)^7-(1-z)^7}{2}}.

On a alors les équivalences : {\begin{array}{rl}(E)&\Leftrightarrow v=0\Leftrightarrow(1+z)^7=(1-z)^7\\\\&\Leftrightarrow\dfrac{1+z}{1-z}=\text{e}^{2i\,\theta_k}\end{array}} où on a noté {\theta_k=\dfrac{k\pi}{7}} et {0\le k\le 6}.

D’autre part: {\begin{array}{rl}\dfrac{1+z}{1-z}=\text{e}^{i\,\theta_k}\Leftrightarrow z=\dfrac{\text{e}^{2i\,\theta_k}-1}{\text{e}^{2i\,\theta_k}+1}=i\tan\,\theta_k\end{array}}L’équation {(E)} possède donc les {7} solutions distinctes :
{\begin{array}{ll}z_0=0&z_1=i\tan\dfrac{\pi}{7}\\\\z_2=i\tan\dfrac{2\pi}{7}&z_3=i\tan\dfrac{3\pi}{7}\\\\z_4=i\tan\dfrac{4\pi}{7}=-z_3&z_5=i\tan\dfrac{5\pi}{7}=-z_2\\\\z_6=i\tan\dfrac{6\pi}{7}=-z_1\end{array}}

Exercice 6.
Résoudre {\bar z^7=\dfrac1{z^2}} dans {\mathbb{C}}.
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En prenant les modules, il vient {\left|{z}\right|=1}.

L’équation devient {\overline{z}^7z^2=1} donc {z^5=1}.

Les solutions sont les racines cinquièmes de l’unité : {z_k=\exp\dfrac{2ik\pi}{5}\text{\ avec\ }0\le k\le 4}