Racines carrées dans ℂ

Exercice 1.
Soit {u} une racine carrée de {zz'}.
Montrer que {|z|+|z'|=\left|{\dfrac{z+z'}2+u}\right|+\left|{\dfrac{z+z'}2-u}\right|}.
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Pour cet exercice, on va voir deux méthodes :

  • Première méthode :

    On élève au carré, en sachant que pour tous {u,v} de {\mathbb{C}} :

    {\begin{cases}\left|{u+v}\right|^2=(u+v)(\overline{u}+\overline{v})=\left|{u}\right|^2+2\text{Re}(u\overline{v})+\left|{v}\right|^2\\\\\left|{u-v}\right|^2=(u-v)(\overline{u}-\overline{v})=\left|{u}\right|^2-2\text{Re}(u\overline{v})+\left|{v}\right|^2\\\\\left|{u+v}\right|^2+\left|{u-v}\right|^2=2\left|{u}\right|^2+2\left|{v}\right|^2\end{cases}}On en déduit :
    {\begin{array}{l}\left(\left|{\dfrac{z+z'}2+u}\right|+\left|{\dfrac{z+z'}2-u}\right|\right)^2\\\\\quad=\left|{\dfrac{z+z'}2+u}\right|^2+2\left|{\dfrac{(z+z')^2}4-u^2}\right|+\left|{\dfrac{z+z'}2-u}\right|^2\\\\\quad=2\left|{\dfrac{z+z'}2}\right|^2+2\left|{u^2}\right|+2\left|{\dfrac{(z+z')^2}4-zz'}\right|\\\\\quad=\left|{\dfrac{(z+z')^2}2}\right|+2\left|{z}\right|\left|{z'}\right|+\left|{\dfrac{(z-z')^2}2}\right|\\\\\quad=\left|{z}\right|^2+2\left|{z}\right|\left|{z'}\right|+\left|{z'}\right|^2=(\left|{z}\right|+\left|{z'}\right|)^2\end{array}}ce qui est le résultat espéré.

  • Deuxième méthode :

    Soient {a,b} tels que {a^2=z} et {b^2=z'}.

    On a {(ab)^2=zz'=u^2}, donc {u=\pm ab}.

    Par symétrie du problème, on peut donc choisir {u=ab}. On trouve alors :
    {\begin{array}{l}\left|{\dfrac{z+z'}2+u}\right|+\left|{\dfrac{z+z'}2-u}\right|\\\\\quad=\left|{\dfrac{a^2+b^2}2+ab}\right|+\left|{\dfrac{a^2+b^2}2-ab}\right|\\\\\quad=\left|{\dfrac{(a+b)^2}2}\right|+\left|{\dfrac{(a-b)^2}2}\right|\\\\\quad=\left|{a}\right|^2+\left|{b}\right|^2=\left|{z}\right|+\left|{z'}\right|\end{array}}Et on retrouve le résultat (cette méthode est plus simple).

Exercice 2.
Avec {a,b} réels, calculer les racines carrées de {Z=4ab+2(a^2-b^2)i}
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Soit {\omega=a-ib}. Alors {2i\omega^2=4ab+2i(a^2-b^2)=Z}.

Or {2i=(1+i)^2}. On en déduit {Z=((1+i)(a-ib))^2=(a+b+i(a-b))^2}.

Les racines carrées de {Z} sont {z=(a+b)+i(a-b)} et son opposée.

Exercice 3.
Trouver les racines quatrièmes de {Z=-119+120i}.
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Il faut calculer les racines carrées des racines carrées de {Z}.

Posons {z=x+iy}, avec {(x,y)\in\mathbb{R}^2}.

On constate que {\left|{Z}\right|=\sqrt{119^2+120^2}=169}.

{\begin{array}{rl}z^2=Z&\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y^2=-119\cr 2xy=120\cr x^2+y^2=169\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}x^2=25\cr y^2=144\cr xy=60\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}(x,y)=(5,12)\cr\text{ou\ }(x,y)=(-5,-12)\end{cases}\end{array}}On doit maintenant trouver les racines carrées de {5+12i} et {-5-12i}.

Or {5+12i=(3+2i)^2}. Une racine quatrième de {Z} est donc {z_1=3+2i}.

Toutes s’obtiennent en multipliant {z_1} par les racines quatrièmes de {1}, donc par {1,i,-1,-i}.

Finalement les racines quatrièmes de {Z} sont donc :
{\left\{\begin{array}{ll}z_1=3+2i&\quad z_2=-2+3i\cr z_3=-3-2i&\quad z_4=2-3i\end{array}\right.}