Petits calculs de produits

Publié le 02/11/17

Exercice 1.
Calculer {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}2^{1/(k(k+1)}}.
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Exercice 2.
Simplifier {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^n\,\dfrac{1+k(k+1)+i}{1+k(k+1)-i}}.
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Exercice 3.
Calculer {P_{n}=\displaystyle\prod\limits_{k=2}^{n}\dfrac{k^3-1}{k^3+1}}.
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Exercice 4.
Qui est le plus grand : {999!} ou {500^{999}} ?
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Exercice 5.
Pour tout {n\in\mathbb{N}^*}, montrer que {\prod\limits_{k=1}^{n}(2k)!\ge((n+1)!)^n}.
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Exercice 6.
Pour {n\ge1}, soit {P_{n}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\ldots\dfrac{2n-1}{2n}}.

Montrer que {\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\lt P_{n}\lt \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}.

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