Petits calculs dans ℂ

Exercice 1.
Mettre chacun des nombres complexes sous la forme {a+ib} avec {a,b} réels : {\begin{array}{cc}z=-\displaystyle\dfrac{2}{1-i\sqrt{3}}\quad&\quad u=\displaystyle\dfrac{1}{(1+2i)(3-i)}\\\\v=\displaystyle\dfrac{1+2i}{1-2i}\quad&\quad w=\displaystyle\dfrac{5+i\sqrt{2}}{1+i}\end{array}}
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{\begin{array}{rl}z&=-\displaystyle\dfrac{2}{1-i\sqrt{3}}=-\dfrac{2(1+i\sqrt{3})}{1^2+(\sqrt{3})^2}\\\\&=-\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\u&=\displaystyle\dfrac{1}{(1+2i)(3-i)}=\dfrac{1}{5(1+i)}=\dfrac{1-i}{5(1^2+i^2)}\\\\&=\dfrac{1-i}{10}=\dfrac{1}{10}-i\dfrac{1}{10}\\\\v&=\displaystyle\dfrac{1+2i}{1-2i}=\dfrac{(1+2i)^2}{(1-2i)(1+2i)}\\\\&=\dfrac{1+4i^2+4i}{1^2+2^2}=\dfrac{1+4i^2+4i}{1^2+2^2}\\\\&=\dfrac{-3+4i}{5}=-\dfrac{3}{5}+i\dfrac{4}{5}\\\\w&=\displaystyle\dfrac{5+i\sqrt{2}}{1+i}=\dfrac{5+\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{-5+\sqrt{2}}{2}\end{array}}

Exercice 2.
Mettre sous forme cartésienne les nombres complexes:
{\begin{array}{rl}a&=\dfrac{2+5i}{1-i}+\dfrac{2-5i}{1+i},\quad b=\dfrac{3+6i}{3-4i}\\\\c&=\Bigl(\dfrac{1+i}{2-i}\Bigr)^2+\dfrac{1-7i}{4+3i}\end{array}}
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{\begin{array}{rl}a&=2\text{Re}\dfrac{2+5i}{1-i}=2\text{Re}\dfrac{(2+5i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\\\\&=\text{Re}\left((2+5i)(1+i)\right)=-3\\\\b&=\dfrac{(3+6i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\dfrac{-15+30i}{25}=-\dfrac35+i\dfrac65\\\\c&=\dfrac{2i}{3-4i}+\dfrac{1-7i}{4+3i}=\dfrac{-2}{4+3i}+\dfrac{1-7i}{4+3i}\\\\&=-\dfrac{1+7i}{4+3i}=\dfrac{(1+7i)(3i-4)}{25}=-1-i\end{array}}

Exercice 3.
Quand {Z=z^2+z+1} est-il réel? Imaginaire pur?
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Posons {z=x+iy}, avec {(x,y)\in\mathbb{R}^2}.

On a: {Z=x^2-y^2+x+1+iy(2x+1)}.

  • {Z} est réel {\Leftrightarrow y(2x+1)=0\Leftrightarrow\begin{cases}y=0\text{\ ou}\cr x=-1/2\end{cases}}
  • {Z} est imaginaire pur {\Leftrightarrow x^2-y^2+x+1=0}.

    Cela équivaut à y^2-\Big(x+\dfrac12\Big)^2=3/4.

    Les points-images {m(z)} correspondants forment l’hyperbole équilatère dont le
    centre est en {(-\dfrac12,0)}, d’axe transverse {x=-\dfrac12}, et d’asymptotes {y=\pm(x+\dfrac12)}.

Exercice 4.
Résoudre {\begin{cases}iz-2\omega=-4+3i\\2\bar\omega+\bar z=3\end{cases}} dans {\mathbb{C}}.
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On a les équivalences : {\begin{array}{l}\begin{cases}iz-2\omega=-4+3i\cr2\bar\omega+\bar z=3\end{cases}\\\\\Leftrightarrow\begin{cases}iz-2\omega=-4+3i\cr2\omega+ z=3\end{cases}\\\\\Leftrightarrow\begin{cases}iz-2\omega=-4+3i\cr(1+i)z=-1+3i\end{cases}\end{array}}L’unique solution est donnée par : {\begin{array}{rl}z&=\dfrac12(-1+3i)(1-i)=1+2i\\\\\omega&=\dfrac12(3-z)=1-i\end{array}}

Exercice 5.
Soit {z\in \mathbb{C}} tel que {|z|\leq 1}. Prouver que {\text{Re}(z^{2}+4z+3)\geq 0}.
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Soit {z=x+iy} avec {x^{2}+y^{2}\leq 1}. On a : {\begin{array}{rl}\text{Re}(z^{2}+4z+3)&=x^{2}-y^{2}+4x+3\\\\&=2(x+1)^{2}+1-(x^{2}+y^{2})\\\\&\geq 2(x+1)^{2}\geq 0\end{array}}