Nombres complexes de module 1 (2/2)

Exercice 1.
Montrer que {\begin{cases}\left|z\right|=\left|{z'}\right|=1\cr\left|{2+zz'}\right|=1\end{cases}\Rightarrow zz'=-1}.
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Exercice 2.
Soit {x,y,z} trois complexes de module {1}.

Comparer {|x+y+z|} et {|xy+yz+zx|}.

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Exercice 3.
Soit {a} dans {\mathbb{C}} tel que {\left|a\right|\lt 1}, et {\varphi_a:z\mapsto\dfrac{z-a}{1-\overline{a}z}}.

Montrer que {U=\{z\in\mathbb{C},\;\left|z\right|=1\}} est invariant par {\varphi_a}.

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Exercice 4.
Résoudre le système {\begin{cases}\left|{x}\right|=\left|{y}\right|=\left|z\right|=1\cr x+y+z=1\cr xyz=1\end{cases}}
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