Nombres complexes de module 1 (1/2)

Exercice 1.
Soit {z} tel que {\left|z\right|=1}. Montrer que {|1+z|\geq 1} ou {|1+z^{2}|\geq 1}.
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Exercice 2.
Soient {u} et {v} deux nombres complexes de module {1}, tels que {uv\ne-1}.

Montrer que {Z=\dfrac{u+v}{1+uv}} est un réel.

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Exercice 3.
Avec {\left|a\right|=\left|b\right|=1}, {a\ne b}, {z\in\mathbb{C}}, soit {Z=\dfrac{z+ab\overline{z}-(a+b)}{a-b}}

Montrer que {Z^{2}} est réel négatif ou nul.

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Exercice 4.
Soit {(a,b)\in\mathbb{C}^2}, avec {\overline{a}b\ne1}.

Montrer que {\left|{\dfrac{a-b}{1-\overline{a}b}}\right|=1\Leftrightarrow (\left|a\right|=1} ou {\left|b\right|=1)}.

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Exercice 5.
Déterminer les {z\in\mathbb{C}} tels que les modules de {|z|=\left|\dfrac 1z\right|=|z-1|}.
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