Module et argument dans ℂ (1/2)

Exercice 1.
Du calcul de {(1+i)(\sqrt3+i)}, déduire {\cos\dfrac\pi{12}} et {\sin\dfrac\pi{12}}.
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On a {(1+i)(\sqrt3+i)=\sqrt3-1+i(\sqrt3+1)}.

D’autre part, en utilisant les formes polaires : {\begin{array}{rl}(1+i)(\sqrt3+i)&=\sqrt2\exp\Big(i\,\dfrac\pi4\Big)\,2\exp\Big(i\,\dfrac\pi6\Big)\\\\&=2\sqrt2\exp\Big(i\,\dfrac{5\pi}{12}\Big)\end{array}}On en déduit : {\begin{array}{rl}\cos\dfrac{5\pi}{12}&=\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\\\\\sin\dfrac{5\pi}{12}&=\dfrac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\end{array}}On obtient finalement {\begin{array}{rl}\cos\dfrac{\pi}{12}&=\sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\\\\\sin\dfrac{\pi}{12}&=\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\end{array}}

Exercice 2.
Simplifier le nombre complexe {z=\biggl(\dfrac{1+i\sqrt3}{1-i}\biggr)^{20}}
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On a {1+i\sqrt3=2\exp\Big(i\,\dfrac\pi3\Big)} et {1-i=\sqrt2\exp\Big(-i\,\dfrac\pi4\Big)}.

On en déduit : {\begin{array}{rl}z&=\left(\sqrt2\exp\Big(i\,\dfrac{7\pi}{12}\Big)\right)^{20}=1024\exp\Big(i\,\dfrac{35\pi}{3}\Big)\\\\&=1024\exp\Big(i\,\dfrac{-\pi}{3}\Big)=512(1-i\,\sqrt3)\end{array}}

Exercice 3.
Module et argument de: {z=1+\sqrt{2}\displaystyle\dfrac{1-i}{1+i\sqrt{3}}}
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{\begin{array}{rl}z&=1+\sqrt{2}\displaystyle\dfrac{1-i}{1+i\sqrt{3}}=1+\sqrt{2}\displaystyle\dfrac{\sqrt2\exp\Big(-i\,\dfrac\pi4\Big)}{2\exp\Big(i\,\dfrac\pi3\Big)}\\\\&=1+\exp\Big(-i\dfrac{7\pi }{12}\Big)=\exp\Big(-i\dfrac{7\pi }{24}\Big)\left(\exp\Big(i\dfrac{7\pi }{24}\Big)+\exp\Big(-i\dfrac{7\pi }{24}\Big)\right)\\\\&=2\cos\Big(\dfrac{7\pi }{24}\Big)\exp\Big(-i\dfrac{7\pi }{24}\Big)\end{array}}

Exercice 4.
Simplifier {z=(1+i\sqrt3)^n+(1-i\sqrt3)^n}.
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Les nombres {(1+i\sqrt3)^n} et {(1-i\sqrt3)^n} sont conjugués.

D’autre part, {1+i\sqrt3=2\exp\Big(i\,\dfrac{\pi}{3}\Big)}. On en déduit : {\begin{array}{rl}z&=2\text{Re}(1+i\sqrt3)^n=2\text{Re}\left(2^n\exp\Big(i\,\dfrac{n\pi}{3}\Big)\right)\\\\&=2^{n+1}\cos\dfrac{n\pi}{3}\end{array}}Si {n=6q+r}, avec {0\le r\le5}, alors : {z=2^{n+1}\cos\dfrac{r\pi}{3}}.

Exercice 5.
Trouver tous les {n} dans {\mathbb{Z}} tels que {(\sqrt{3}+i)^{n}} soit réel.
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On écrit {z=\sqrt{3}+i=2\text{e}^{i\,\theta}}, avec {\,\theta=\dfrac{\pi}{6}}.

Ainsi {z^{n}=2^{n}\text{e}^{ni\,\theta}} et : {z^{n}\in\mathbb{R}\Leftrightarrow\sin \dfrac{n\pi }{6}=0\Leftrightarrow 6\mid n}.