Module et argument dans ℂ (2/2)

Publié le 15/11/17

Exercice 1.
Module et argument de {a=\dfrac{(1+i\tan\theta)^2}{1+\tan^2\theta}} et {b=\dfrac{1-\cos\,\theta+i\sin\,\theta}{1+\cos\theta-i\sin\theta}}.
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Exercice 2.
On suppose que {-\pi\lt \varphi\le\pi}.
Module et argument des nombres complexes : {\begin{cases}a=1+\cos\varphi+i\sin\varphi\\b=\sin\varphi+i(1+\cos\varphi)\\c=\cos\varphi+i(1+\sin\varphi)\end{cases}}
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Exercice 3.
Déterminer les complexes {z} tels que {\begin{cases}|z|=|z-2|\\\arg z=\arg (z+3+i)\mod {2\pi}\end{cases}}
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Exercice 4.
Soit {P=\{z\in\mathbb{C},\;\text{Im}(z)>0\}} et {D=\{z\in\mathbb{C},\;\left|{z}\right|\lt 1\}}.
Montrer que {f\colon z\mapsto\dfrac{z-i}{z+i}} est une bijection de {P} sur {D}.
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Exercice 5.
Avec {a,b,c,d\in\mathbb{R}}, résoudre (1) {z+|z|=a+ib} et (2) {|z|-z=c+id}
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