Inégalités trigonométriques

Exercice 1.
Soit {x_1,x_2,x_3} dans {[0,\pi]}, avec {x_1+x_2+x_3=\pi}.

On pose {S=\sin^2x_1+\sin^2x_2+\sin^2x_3}.

  1. Montrer que {S=-\cos^2x_1+\cos(x_2-x_3)\cos x_1+2}.
  2. En déduire {S\le\dfrac94}, et préciser le cas d’égalité.

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  1. On écrit successivement : {\begin{array}{rl}S&=1-\cos^2x_1+\dfrac{1}{2}\big(1-\cos(2x_2)\big)+\dfrac{1}{2}\big(1-\cos(2x_3)\big)\\\\&=2-\cos^2x_1-\dfrac12(\cos(2x_2)+\cos(2x_3))\\\\&=2-\cos^2x_1-\cos(x_2-x_3)\cos(x_2+x_3)\\\\&=2-\cos^2x_1+\cos(x_2-x_3)\cos x_1\end{array}} (la dernière égalité est justifiée par {x_1=\pi-(x_2+x_3)}).
  2. D’après ce qui précède {S} est un trinôme en {\cos x_1}.

    On met ce trinôme sous forme canonique et on obtient : {S=2-\Bigl(\cos x_1-\dfrac12\cos(x_2-x_3)\Bigr)^2+\dfrac14\cos^2(x_2-x_3)}Cette expression est maximum quand : {\cos x_1-\dfrac12\cos(x_2-x_3)=0\text{\ et \ }\cos^2(x_2-x_3)=1}Il est clair que la valeur de ce maximum est {\dfrac94}.

    Le cas {\cos(x_2-x_3)=-1} et {\cos x_1=-\dfrac12} est à exclure car il donne {\{x_2,x_3\}=\{0,\pi\}} et {x_1=\dfrac{2\pi}{3}}, ce qui est incompatible avec {x_1+x_2+x_3=\pi}.

    Le maximum est donc uniquement atteint quand {\cos(x_2-x_3)=1} (donc quand {x_2=x_3}) et {\cos x_1=\dfrac12}, c’est-à-dire quand {x_1=x_2=x_3=\dfrac\pi3}.

Exercice 2.
Soient {a,b,c,d} dans {[0,\pi]}.

Montrer que : {\sin a+\sin b\le2\sin\dfrac{a+b}{2}}.

En déduire : {\sin a+\sin b+\sin c+\sin d\le4\sin\dfrac{a+b+c+d}{4}}.

En déduire : {\sin a+\sin b+\sin c\le3\sin\dfrac{a+b+c}{3}}.

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  1. En utilisant {\sin\dfrac{a+b}2\ge0} et {\cos\dfrac{a-b}{2}\le1}, on trouve : {\sin a+\sin b=2\sin\dfrac{a+b}2\cos\dfrac{a-b}{2}\le2\sin\dfrac{a+b}2}
  2. On applique deux fois la question précédente et on trouve : {\begin{array}{rl}\sin a+\sin b+\sin c+\sin d&\le2\Bigl(\sin\dfrac{a+b}2+\sin\dfrac{c+d}2\Bigr)\\\\&\le4\sin\dfrac{a+b+c+d}{4}\end{array}}
  3. Il suffit de poser {d=\dfrac{a+b+c}{3}} dans le résultat précédent.

Exercice 3.
Soit {a,b} dans \mathbb{R}^+ tels que {a+b\le\dfrac\pi2}.

Montrer que {\sin^2a+\sin^2b\le\sin^2(a+b)}. Donner le cas d’égalité.

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On trouve successivement : {\begin{array}{l}\sin^2(a+b)-\sin^2a-\sin^2b\\\\\quad=(\sin a\,\cos b+\cos a\,\sin b)^2-\sin^2a-\sin^2b\\\\\quad=\sin^2a\cos^2b+\cos^2a\sin^2b\\\\\qquad+2\sin a\,\cos b\,\cos a\,\sin b-\sin^2a-\sin^2b\\\\\quad =2\sin a\,\cos b\,\cos a\,\sin b-\sin^2a\,(1-\cos^2b)\\\\\qquad-\sin^2b\,(1-\cos^2a)\\\\\quad =2\sin a\,\sin b\,\cos a\,\cos b-2\sin^2a\,\sin^2b\\\\\quad=2\sin a\,\sin b\,\cos(a+b)\ge0\end{array}}Il y a égalité {\Leftrightarrow(\sin a=0}, ou {\sin b=0}, ou {\cos(a+b)=0)}.

La cas d’égalité est donc {a=0}, ou {b=0}, ou {a+b=\dfrac\pi2}.

Exercice 4.
Trouver le maximum de {\sin^2(x)\,\sin(2x)} sur {[0,\pi]}.

En déduire l’inégalité : {\Bigl|\displaystyle\prod_{k=0}^{k=n}\sin(2^kx)\Bigr|\le\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^n}.

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Posons {\psi(x)=\sin^2x\,\sin 2x}.

La fonction \psi étant {\pi}-périodique impaire, on l’étudie sur {I=[0,\dfrac\pi2]}.

Pour tout {x\in I}, on a {\psi(x)=2\sin^3x\;\cos x\ge0}. Ainsi : {\begin{array}{rl}\psi'(x)&=6\sin^2x\,\cos^2x-2\sin^4x\\\\&=2\sin^2x(3\cos^2x-\sin^2x)\\\\&=2\sin^2x(3-4\sin^2x)\end{array}}Donc {\psi} est croissante sur {\Big[0,\dfrac\pi3\Big]} puis décroissante sur {\Big[\dfrac\pi3,\dfrac\pi2\Big]}.

Ainsi {\displaystyle\max_{x\in I}\psi(x)=\psi(\dfrac\pi3)=\dfrac{3\sqrt3}{8}=\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^3}.

Par périodicité et imparité : {\forall x\in\mathbb{R},\;\left|\psi(x)\right|\le\dfrac{3\sqrt3}{8}}.

Posons maintenant : {\varphi(x)=\displaystyle\prod_{k=0}^{k=n}\sin2^kx=\sin x\;\sin 2x\;\sin 4x\;\cdots\;\sin 2^nx}La fonction {x\mapsto\left|\varphi(x)\right|} est {\pi}-périodique.

Pour prouver {\left|\varphi(x)\right|\le\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{4}\Bigr)^n}, on peut donc supposer {0\le x\le \pi}.

L’astuce consiste à écrire : {\begin{array}{rl}\varphi(x)^3&=(\sin x)(\sin^2 x\,\sin 2x)\cdots (\sin^22^{n-1}x\,\sin2^{n}x)\sin^2 2^{n}x\end{array}}

Ainsi : {\varphi(x)^3=\sin x\;\sin^2 2^{n}x\;\displaystyle\prod_{k=0}^{k=n-1}\psi(2^kx)}

On en déduit: {\left|\varphi(x)\right|^3\le\displaystyle\prod_{k=0}^{k=n-1}\left|{\psi(2^kx)}\right|\le\displaystyle\prod_{k=0}^{k=n-1}\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^3}

Conclusion : {\left|\varphi(x)\right|^3\le\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^{3n}} donc {\left|\varphi(x)\right|\le\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^{n}}.