Inégalités trigonométriques

Publié le 20/11/17

Exercice 1.
Soit {x_1,x_2,x_3} dans {[0,\pi]}, avec {x_1+x_2+x_3=\pi}.

On pose {S=\sin^2x_1+\sin^2x_2+\sin^2x_3}.

  1. Montrer que {S=-\cos^2x_1+\cos(x_2-x_3)\cos x_1+2}.
  2. En déduire {S\le\dfrac94}, et préciser le cas d’égalité.

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Exercice 2.
Soient {a,b,c,d} dans {[0,\pi]}.

Montrer que : {\sin a+\sin b\le2\sin\dfrac{a+b}{2}}.

En déduire : {\sin a+\sin b+\sin c+\sin d\le4\sin\dfrac{a+b+c+d}{4}}.

En déduire : {\sin a+\sin b+\sin c\le3\sin\dfrac{a+b+c}{3}}.

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Exercice 3.
Soit {a,b} dans \mathbb{R}^+ tels que {a+b\le\dfrac\pi2}.

Montrer que {\sin^2a+\sin^2b\le\sin^2(a+b)}. Donner le cas d’égalité.

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Exercice 4.
Trouver le maximum de {\sin^2(x)\,\sin(2x)} sur {[0,\pi]}.

En déduire l’inégalité : {\Bigl|\displaystyle\prod_{k=0}^{k=n}\sin(2^kx)\Bigr|\le\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^n}.

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