Géométrie du plan complexe (1/2)

Exercice 1.
Soit z\in\mathbb{C}, et les points {A(z)}, {B(z^2)} et {C(z^4)}. Donner une condition nécessaire et suffisante sur {z} pour que A,B,C soient alignés.
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On traite déjà les cas où deux au moins de {A,B,C} sont confondus.

Il s’agit des cas {z=0,z=1,z=-1,z=j,z=j^2}.

Dans chacun d’eux, les points {A,B,C} sont évidemment alignés!

On suppose donc que {z} n’est pas dans {\{0,1,-1,j,j^2\}}.

Alors : ({A,B,C} alignés) {\Leftrightarrow\dfrac{z^4-z^2}{z^2-z}\in\mathbb{R}\Leftrightarrow z(z+1)\in\mathbb{R}}.

Posons {z=x+iy}, avec {(x,y)\in\mathbb{R}^2}.

Alors {z(z+1)=x^2-y^2+x+iy(2x+1)}.

Ainsi {z(z+1)\in\mathbb{R}\Leftrightarrow(y=0\text{\ ou\ }x=-\dfrac12}.

En conclusion, les points solutions sont :

  • Ceux de l’axe {Ox} (parmi lesquels {0,1,-1})
  • Ceux de l’axe {x=-\dfrac12} (parmi lesquels {j} et {j^2})

Exercice 2.
Soit (a,b,c)\in\mathbb{C}^3, et les points {A(a)}, {B(b)} et {C(c)}.
Montrer que : ({A,B,C} sont alignés) {\Leftrightarrow a\overline{b}+b\overline{c}+c\overline{a}\in\mathbb{R}}.
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Si {a=b} ou {a=c} ou {b=c}, alors {A,B,C} sont alignés.

Dans chacun de ces trois cas, {a\overline{b}+b\overline{c}+c\overline{a}} est effectivement un réel.

Par exemple, si {a=b}, alors : {\begin{array}{rl}a\overline{b}+b\overline{c}+c\overline{a}&=\left|a\right|^2+a\overline{c}+c\overline{a}\\\\&=\left|a\right|^2+2\text{Re}(a\overline{c})\end{array}}On suppose donc {a,b,c} distincts deux à deux.

On a alors les équivalences :
{\begin{array}{l}A,B,C\text{\ alignés\ }\Leftrightarrow\arg\dfrac{c-a}{b-a}=0\pmod{\pi}\\\\\quad\Leftrightarrow\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{\overline{c}-\overline{a}}{\overline{b}-\overline{a}}\\\\\quad\Leftrightarrow(c-a)(\overline{b}-\overline{a})=(\overline{c}-\overline{a})(b-a)\\\\\quad\Leftrightarrow c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}=\overline{c}b-\overline{c}a-\overline{a}b\\\\\quad\Leftrightarrow a\overline{b}+b\overline{c}+c\overline{a}=\overline{a\overline{b}+b\overline{c}+c\overline{a}}\\\\\quad\Leftrightarrow a\overline{b}+b\overline{c}+c\overline{a}\in\mathbb{R}\end{array}}

Exercice 3.
Condition sur les complexes {p,q} pour que les points images des racines de l’équation {z^3+pz+q=0} forment un triangle rectangle isocèle.
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Notons {\alpha,\beta,\gamma} les racines de {z^3+pz+q=0}.

La condition demandée s’écrit {\gamma-\alpha=i(\beta-\alpha)}.

Cette condition s’écrit {\gamma=(1-i)\alpha+i\beta}.

On ajoute cette condition aux relations coefficients-racines. On obtient :
{\begin{array}{l}\begin{cases}\gamma=(1-i)\alpha+i\beta\phantom{\Big)}\\\alpha+\beta+\gamma=0\phantom{\Big)}\\\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=p\phantom{\Big)}\\\alpha\beta\gamma=-q\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\gamma=(1-i)\alpha+i\beta\phantom{\Big)}\\(2-i)\alpha+(1+i)\beta=0\phantom{\Big)}\\\alpha(\beta+\gamma)+\beta\gamma=p\phantom{\Big)}\\\alpha\beta\gamma=-q\end{cases}\\\\\quad\Leftrightarrow\begin{cases}\gamma=(1-i)\alpha+i\beta\phantom{\big)}\\\beta=\dfrac{-1+3i}2\alpha\phantom{\Big)}\\-\alpha^2+\beta\gamma=p\phantom{\Big)}\\\alpha\beta\gamma=-q\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\gamma=\dfrac{-1-3i}2\alpha\phantom{\bigg)}\\\beta=\dfrac{-1+3i}2\alpha\phantom{\bigg)}\\-\alpha^2+\beta\gamma=p\phantom{\Big)}\\\alpha\beta\gamma=-q\end{cases}\\\\\Leftrightarrow\begin{cases}\gamma=\dfrac{-1-3i}2\alpha\phantom{\bigg)}\\\beta=\dfrac{-1+3i}2\alpha\phantom{\bigg)}\\\dfrac32\alpha^2=p\phantom{\bigg)}\\\dfrac52\alpha^3=-q\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\gamma=\dfrac{-1-3i}2\alpha\phantom{\bigg)}\\\beta=\dfrac{-1+3i}2\alpha\phantom{\bigg)}\\\alpha^2=\dfrac23\,p\phantom{\bigg)}\\\alpha^3=-\dfrac25\,q\end{cases}\end{array}}
Finalement la condition se résume à l’existence de {\alpha} tel que {\alpha^2=\dfrac23\,p} et {\alpha^3=-\dfrac25\,q}.

Ces conditions impliquent {\Big(\dfrac23\,p\Big)^3=\Big(-\dfrac25\,q\Big)^2} donc {50p^3=27p^2}.

Réciproquement, et si cette condition est réalisée, alors toute racine carrée {\alpha} de {\dfrac23\,p} vérifie {\alpha^6=\Big(-\dfrac25\,q\Big)^2} donc {\alpha^3=\pm\dfrac25\,q}.

Comme {\alpha} est défini au signe près, on peut le choisir pour que {\alpha^3=-\dfrac25\,q}.

Conclusion : la condition sur {p,q} pour que les points images des racines de {z^3+pz+q=0} forment un triangle rectangle isocèle est {50p^3=27q^2}.

Exercice 4.
Soit z\in\mathbb{C}, et les points {A(z)}, {B(z^2)} et {C(z^3)}.
Condition nécessaire et suffisante pour que {A,B,C} forment un triangle isocèle.
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La condition imposée s’écrit : {\begin{cases}\left|{z-z^2}\right|=\left|{z-z^3}\right|&(1)\cr\text{ou\ }\left|{z^2-z}\right|=\left|{z^2-z^3}\right|&(2)\cr\text{ou\ }\left|{z^3-z}\right|=\left|{z^3-z^2}\right|&(3)\end{cases}}On a les équivalences : {\begin{array}{rl}(1)&\Leftrightarrow\left|{z}\right|\,\left|{z-1}\right|=\left|{z}\right|\,\left|{z-1}\right|\,\left|{z+1}\right|\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}z=0\text{\ ou\ }z=1\cr\text{ou\ }\left|{z+1}\right|=1\end{cases}\end{array}}De même, on a les équivalences : {\begin{array}{rl}(2)&\Leftrightarrow\left|{z}\right|\,\left|{z-1}\right|=\left|{z}\right|^2\,\left|{z-1}\right|\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}z=0\text{\ ou\ }z=1\cr\text{ou\ }\left|{z}\right|=1\end{cases}\end{array}}Enfin, on a les équivalences : {\begin{array}{rl}(3)&\Leftrightarrow\left|z\right|\,\left|z-1\right|\,\left|z+1\right|=\left|z\right|^2\,\left|z-1\right|\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}z=0\text{\ ou\ }z=1\cr\text{ou\ }\left|z\right|=\left|z+1\right|\end{cases}\end{array}}Les solutions sont les nombres complexes dont le point-image dans {\mathbb{C}} est sur la réunion :

  • du cercle de centre {(-1,0)} et de rayon {1} ;
  • du cercle de centre {(0,0)} et de rayon {1} ;
  • de la médiatrice du segment d’extrémités {(0,0)} et {(-1,0)} (en remerciant F.Pitoun au passage pour m’avoir signalé cet oubli!).

Exercice 5.
Condition pour que les points {M(u)} et {N(v)} soient symétriques par rapport à la droite passant par {A(a)} et d’angle polaire {\alpha\pmod \pi}.
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La translation associée au nombre {-a} nous ramène à l’origine.

Puis la rotation de centre {0} d’angle {-\alpha} ramène au cas où l’axe de symétrie est {Ox}.

On sait enfin que {P(z)} et {P'(z')} sont symétriques par rapport à {Ox} si et seulement si {z'=\overline{z}}.

La condition cherchée sur {a} et {b} s’écrit donc : {(v-a)\text{e}^{-i\alpha}=\overline{(u-a)\text{e}^{-i\alpha}}=(\overline{u}-\overline{a})\text{e}^{i\alpha}}Cette condition s’écrit aussi : {v=a+(\overline{u}-\overline{a})\text{e}^{2i\alpha}=\text{e}^{2i\alpha}\,\overline{u}+a-\overline{a}\text{e}^{2i\alpha}}

Exercice 6.
Soit {ABCD} un quadrilatère. À partir de chaque coté, vers l’extérieur, on construit un triangle rectangle isocèle. Montrer que les diagonales du quadrilatère obtenu sont orthogonales et de même longueur.
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Soit {A'} le sommet (l’angle droit) du triangle formé sur le segment {[A,B]}.

{A} se déduit de {B} par la rotation de centre {A'} et d’angle {\dfrac\pi2}.

Autrement dit, l’affixe {a'} de {A'} vérifie {(a-a')=i(b-a')} donc {a'=\dfrac{a-ib}{1-i}}.

De même, les affixes de {B',C',D'} construits à partir de {[B,C],[C,D],[D,A]} vérifient :{b'=\dfrac{b-ic}{1-i},\ c'=\dfrac{c-id}{1-i},\;d'=\dfrac{d-ia}{1-i}}On en déduit {c'-a'=\dfrac{c-a-i(d-b)}{1-i}} et {d'-b'=\dfrac{d-b-i(a-c)}{1-i}}.

Autrement dit {d'-b'=i(c'-a')}.

Ainsi {[B',D']} se déduit de {[A',C']} par une rotation d’angle {\dfrac\pi2}.

Ces deux segments sont donc orthogonaux et de même longueur.