Équations du second degré dans ℂ

Exercice 1.
Dans {\mathbb{C}}, résoudre l’équation {(E):\ z^2-2iz+2-4i=0}.
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Le discriminant est {\Delta'=i^2-(2-4i)=-3+4i=(1+2i)^2}.

On en déduit : {(E)\Leftrightarrow\begin{cases}z_1=i+(1+2i)=1+3i\\z_2=i-(1+2i)=-1-i\end{cases}}

Exercice 2.
Dans {\mathbb{C}}, résoudre l’équation {z^3-i=6(z+i)}.
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Le premier membre est factorisable par {z+i} :
{\begin{array}{rl}z^3-i=6(z+i)&\Leftrightarrow z^3+i^3=6(z+i)\\\\&\Leftrightarrow(z+i)(z^2-iz-1)=6(z+i)\\\\&\Leftrightarrow(z+i)(z^2-iz-7)=0\end{array}}Le discriminant de {z^2-iz-7} est {\Delta=-1+28=27=(3\sqrt3)^2}.

Les solutions de l’équation initiale sont donc :
{z_1=-i,\ z_2=\dfrac12(i-3\sqrt3),\ z_3=\dfrac12(i+3\sqrt3)}

Exercice 3.
Dans {\mathbb{C}}, résoudre l’équation {z^4-(5-14i)z^2-2(5i+12)=0}.
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On résout d’abord {Z^2-(5-14i)Z-2(5i+12)=0}
(on prendra ensuite les racines carrées des solutions).

Le discriminant est : {\begin{array}{rl}\Delta&=(5-14i)^2+8(5i+12)\\\\&=-75-100i=(5-10i)^2\end{array}}On trouve {\begin{cases}Z_1=\dfrac12\,(5-14i-5+10i)=-2i\\Z_2=\dfrac12\,(5-14i+5-10i)=5-12i\end{cases}}

Les racines carrées de {Z_1} sont {z_1=1-i} et {z'_1=-z_1}.

Celles de {Z_2} sont {z_2=3-2i} et {z'_2=-z_2}.

Les solutions de l’équation initiale sont donc :{1-i,\ -1+i,\ 3-2i,\ -3+2i}

Exercice 4.

  1. Soient {a,b,c} les racines dans {\mathbb{C}} de {P(z)=z^3-(3+2i)z^2+(3+11i)z-2(1+7i)=0}Calculer {a,b,c} sachant que l’une d’elle est réelle.
  2. Trouver l’isobarycentre du triangle de sommets {A(a),B(b),C(c)}.

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Soit {a} un réel. On a les équivalences : {\begin{array}{rl}P(a)=0&\Leftrightarrow (a^3-3a^2+3a-2)+i(-2a^2+11a-14)=0\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}a^3-3a^2+3a-2\\ 2a^2-11a+14\end{cases}\end{array}}Les solutions de {2a^2-11a+14} sont {a=2} et {a=\dfrac72}.

Mais seul {a=2} est solution de {a^3-3a^2+3a-2=0}.

La racine réelle de {P} est donc {2}.

On factorise {z-2}: {P(z)=(z-2)(z^2-(1+2i)z+1+7i)}.

Le discriminant de {Q=z^2-(1+2i)z+1+7i} est :{\Delta=(1+2i)^2-4(1+7i)=-7-24i=(3-4i)^2}Les deux racines de {Q(z)} sont donc {\begin{cases}b=\dfrac{1}{2}(1+2i-3+4i)=-1+3i\\\\c=\dfrac{1}{2}(1+2i+3-4i)=2-i\end{cases}}

Les trois racines de {P} sont donc :{a=2,\quad b=-1+3i,\quad c=2-i}

Exercice 5.
On se donne {x\in\mathbb{C}\setminus[-1,1]}. Montrer que :{\exists\,!\,z\in\mathbb{C},\;x=\dfrac12\Bigl(z+\dfrac1z\Bigr),\left|{z}\right|>1}
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Soit {x} fixé dans {\mathbb{C}\setminus[-1,1]}. Soit {z} quelconque dans {\mathbb{C}^*}.

On a l’équivalence : {x=\dfrac12\Bigl(z+\dfrac1z\Bigr)\Leftrightarrow z^2-2xz+1=0}.

Le discriminant est {\Delta'=x^2-1\ne0}.

Cette équation en {z} a donc deux solutions distinctes {z_1,z_2} dans {\mathbb{C}^*}.

On a {z_1z_2=1} (donc {\left|{z_1}\right|\,\left|{z_2}\right|=1}) et {z_1+z_2=2x}.

  • Supposons {\left|{z_1}\right|\le1} et {\left|{z_2}\right|\le1}.

    Ainsi {\left|{z_1}\right|=\left|{z_2}\right|=1} puis {z_2=\overline{z_1}}.

    Alors {x=\text{Re}(z_1)\in[-1,1]}, ce qui est contraire à l’hypothèse.

  • L’hypothèse {\left|{z_1}\right|>1} et {\left|{z_2}\right|>1} est également absurde.

En conclusion, l’un seulement de {z_1,z_2} vérifie {\left|{z}\right|>1}.

Exercice 6.

  1. Résoudre {(E): x^2+4x+1+i(3x+5)=0} dans {\mathbb{C}}.
  2. Résoudre {(E'): (x^2+4x+1)^2+(3x+5)^2=0} dans {\mathbb{C}}.
  3. Factoriser {(x^2+4x+1)^2+(3x+5)^2} dans {\mathbb{R}[X]}.

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  1. On a l’équivalence : {x^2+4x+1+i(3x+5)=0\Leftrightarrow x^2+(4+3i)x+1+5i=0}Le discriminant est :{\Delta=(4+3i)^2-4(1+5i)=3+4i=(2+i)^2}Les solutions de {(E)} sont donc :{\begin{array}{rl}x'&=\dfrac{1}{2}(-4-3i-2-i)=-3-2i\\\\x''&=\dfrac{1}{2}(-4-3i+2+i)=-1-i\end{array}}
  2. On a les équivalences : {\begin{array}{l}(x^2+4x+1)^2+(3x+5)^2=0\\\\\quad\Leftrightarrow \begin{cases}x^2+4x+1+i(3x+5)=0\cr\text{ou}\cr x^2+4x+1-i(3x+5)=0\end{cases}\\\\\Leftrightarrow x\text{ ou }\overline{x}\text{\ solutions de\ }(E)\end{array}}On trouve quatre solutions : {x\in\{-3-2i,-1-i,-3+2i,-1+i\}}

  3. On va grouper les racines conjuguées:
    {\begin{array}{l}(x^2+4x+1)^2+(3x+5)^2\\\\\quad=(x+3+2i)(x+1+i)(x+3-2i)(x+1-i)\\\\\quad=\Bigl((x+3+2i)(x+3-2i)\Bigr)\Bigl((x+1+i)(x+1-i)\Bigr)\\\\\quad=(x^2+6x+13)(x^2+2x+2)\end{array}}