Distance et module dans ℂ (1/2)

Exercice 1.
Pour tous {a,b} de {\mathbb{C}}, montrer que :{1+\left|{ab-1}\right|\le(1+\left|{a-1}\right|)(1+\left|{b-1}\right|)}
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On pose {a=\alpha+1} et {b=\beta+1}. Alors : {\left|{ab-1}\right|=\left|{\alpha\beta+\alpha+\beta}\right|\le \left|{\alpha}\right|+\left|{\beta}\right|+\left|{\alpha}\right|\,\left|{\beta}\right|}Ainsi : {1+\left|{ab-1}\right|\le (1+\left|{\alpha}\right|)(1+\left|{\beta}\right|)}.

On a donc bien obtenu : {1+\left|{ab-1}\right|\le(1+\left|{a-1}\right|)(1+\left|{b-1}\right|)}

Exercice 2.
Montrer que : {\forall(a,b)\in\mathbb{C}^2,\;\left|{a}\right|+\left|{b}\right|\le \left|{a+b}\right|+\left|{a-b}\right|}.
Préciser le cas d’égalité.
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On trouve : {\begin{array}{l}(\left|{a+b}\right|+\left|{a-b}\right|)^2-(\left|{a}\right|+\left|{b}\right|)^2\\\\=2\left|{a^2-b^2}\right|+(\left|{a}\right|-\left|{b}\right|)^2\ge0\end{array}}Il y a égalité si et seulement si {b=a} ou {b=-a}.

Exercice 3.
Soit {ABCD} un parallélogramme.
Montrer que {AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2}.
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Il s’agit de montrer que dans un parallélogramme, la somme des carrés des longueurs des diagonales est égale à la somme des carrés des longueurs des cotés.

On ne perd aucune généralité à supposer que le sommet {A} est à l’origine.

Si {b} est l’affixe de {B} et si {d} est celui de {D}, alors celui de {C} est {c=b+d}.

Avec ces notations : {\begin{array}{rlrl}AC&=\left|{c}\right|=\left|{b+d}\right|&BD&=\left|{b-d}\right|\\\\AB&=CD=\left|{b}\right|&BC&=DA=\left|{d}\right|\end{array}}La propriété à démontrer devient alors :{\left|{b+d}\right|^2+\left|{b-d}\right|^2=2(\left|{b}\right|^2+\left|{d}\right|^2)}Effectivement, on a :
{\begin{cases}\left|{b+d}\right|^2=(b+d)(\overline{b}+\overline{d})=\left|{b}\right|^2+2\text{Re}(b\overline{d})+\left|{d}\right|^2\\\\\left|{b-d}\right|^2=(b-d)(\overline{b}-\overline{d})=\left|{b}\right|^2-2\text{Re}(b\overline{d})+\left|{d}\right|^2\end{cases}}Après addition terme à terme, on trouve bien : {\left|{b+d}\right|^2+\left|{b-d}\right|^2=2(\left|{b}\right|^2+\left|{d}\right|^2)}

Exercice 4.
Montrer que : {\forall\, (a,b,c)\in\mathbb{C}^3,\;\left|{1+a}\right|+\left|{a+b}\right|+\left|{b+c}\right|+\left|{c}\right|\ge1}.
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Il suffit d’écrire : {\begin{array}{l}\left|{1+a}\right|+\left|{a+b}\right|+\left|{b+c}\right|+\left|{c}\right|\\\\\quad\ge\left|{(1+a)-(a+b)+(b+c)-c}\right|=1\end{array}}