Distance et module dans ℂ (2/2)

Publié le 13/11/17

Exercice 1.
Pour tout {z\in\mathbb{C}} ({\left|{z}\right|\ne1}) et tout {n} de {\mathbb{N}}, montrer que :
{\left|{\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}}\right|\le\dfrac{1-\left|{z}\right|^{n+1}}{1-\left|{z}\right|}}
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Exercice 2.
Pour {n\in\mathbb{N}^*} et {(z_1,\ldots,z_n)\in\mathbb{C}^*}, montrer que : {\dfrac{\Big|\displaystyle\sum_{k=1}^{n}z_k\Big|}{1+\Big|\displaystyle\sum_{k=1}^{n}z_k\Big|}\le\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left|{z_k}\right|}{1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left|{z_k}\right|}\le\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\left|{z_k}\right|}{1+\left|{z_k}\right|}}
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Exercice 3.

  1. Montrer que : {\forall a,b\in\mathbb{C}^*,\;\left|\dfrac{a}{\left|a\right|^2}-\dfrac{b}{\left|b\right|^2}\right|=\dfrac{\left|a-b\right|}{\left|a\right|\cdot\left|b\right|}}
  2. Montrer que {\forall\,(x,y,z)\in\mathbb{C}^3} : {\left|{x}\right|\cdot\left|{y-z}\right|\le\left|{y}\right|\cdot\left|{z-x}\right|+\left|{z}\right|\cdot\left|{x-y}\right|}
  3. Montrer l’inégalité dite de Ptolémée, pour tous (x,y,z,w)\in\mathbb{C}^4 :{\left|{x-y}\right|\cdot\left|{z-w}\right|\le\left|{x-z}\right|\cdot\left|{y-w}\right|+\left|{x-w}\right|\cdot\left|{y-z}\right|}

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Exercice 4.
Soit {a} dans {\mathbb{C}^*}. Montrer que : {\left|z+a\right|=\left|z-a\right|\Leftrightarrow \exists\, \lambda\in\mathbb{R},\;z=i\lambda a}
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