Théorème de convergence dominée

Exercice 1.
Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}(t)\,\text{d}t=0}.
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Les {f_{n}\colon t\mapsto\cos^{n}(t)} sont continues par morceaux sur {I=\Big[0,\dfrac{\pi}{2}\Bigr]}.

La suite {(f_{n})_{n\ge0}} converge simplement convergente sur {I}.

La fonction limite est {f\colon t\mapsto\begin{cases}1&\text{si }t=0\\0&\text{si }0\lt t\le \pi/2\end{cases}}

Hypothèse de domination : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;\forall\, t\in I,\;\left|{f_{n}(t)}\right|\le 1}

On en déduit : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}f_{n}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}f(t)\,\text{d}t=0}.

Remarque: on peut choisir {I=\Big]0,\dfrac{\pi}{2}\Bigr]}, pour éliminer la valeur isolée {t=0}.

Exercice 2.
Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{n}+\text{e}^{t}}\,\text{d}x=1-\dfrac{1}{\text{e}}}.
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Les {f_{n}\colon t\mapsto\dfrac{1}{t^{n}+\text{e}^{t}}} sont continues par morceaux sur {I=[0,+\infty[}.

La suite {(f_{n})_{n\ge0}} converge simplement sur {I}.

La fonction limite est {f\colon t\mapsto\begin{cases}\text{e}^{-t}&\text{si }0\le t\lt 1\\0&\text{si }t>1\end{cases}}

On remarque qu’on a toujours {f_{n}(1)=\dfrac{1}{1+\text{e}}}.

Hypothèse de domination : {\forall\, n\in \mathbb{N},\;\forall\, t\ge 0,\;0\le f_{n}(t)\le \varphi(t)=\text{e}^{-t}}On a bien sûr {\varphi\in{\mathcal{L}}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}.

On en déduit (théorème de convergence dominée) : {\begin{array}{rl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\displaystyle\int_{I}f_{n}(t)\,\text{d}t&=\displaystyle\int_I f(t)\,\text{d}t\\\\&=\int_{0}^{1}\text{e}^{-t}\,\text{d}t=1-\dfrac{1}{\text{e}}\end{array}}NB : il n’est pas nécessaire de considérer {f(1)}.

Exercice 3.
Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{t^{n}}{1+t^{n+2}}\,\text{d}t=1}.
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Les {f_{n}\colon t\mapsto\dfrac{t^{n}}{1+t^{n+2}}} sont continues par morceaux sur {I=[0,+\infty[}.

La suite {(f_{n})_{n\ge0}} converge simplement sur {I}.

La limite est {f\colon t\mapsto\begin{cases}0&\text{si }0\le t\lt 1\\t^{-2}&\text{si }t>1\end{cases}} (on a toujours {f_{n}(1)=\dfrac{1}{2}}).

Hypothèse de domination : {\forall\, n\in \mathbb{N},\;\forall\, t\in I,\;\left|{f_{n}(t)}\right|\le \varphi(t)=\begin{cases}1&\text{si }0\le t\le 1\\t^{-2}&\text{si }t\ge1\end{cases}}On a bien sûr {\varphi\in{\mathcal{L}}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}.

On en déduit : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\displaystyle\int_{I}f_{n}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_I f(t)\,\text{d}t=\int_{1}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{2}}=1}

Exercice 4.
Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\Bigl(1+\dfrac{t^{2}}{n}\Bigr)^{-n}\,\text{d}t=\sqrt{\pi}}
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Les {f_{n}\colon t\mapsto\Bigl(1+\dfrac{t^{2}}{n}\Bigr)^{-n}} sont continues (par morceaux) sur {\mathbb{R}}.

La suite {(f_{n})_{n\ge0}} converge simplement sur {\mathbb{R}}.

La fonction limite est {f\colon t\mapsto \text{e}^{-t^{2}}} (qui est dans {\mathcal{L}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})}).

On a immédiatement l’inégalité (penser à la formule du binôme) : {\forall\, x\ge 0,\;\forall\, n\in\mathbb{N},\;(1+x)^{n}\ge 1+nx}On en déduit: {\Bigl(1+\dfrac{t^{2}}{n}\Bigr)^{n}\ge 1+t^{2}}.

Ainsic {\left|{f_{n}(t)}\right|\le \dfrac{1}{1+t^{2}}}, pour tous {n\in\mathbb{N}^{*}} et {t\in\mathbb{R}}).

La fonction {t\mapsto \dfrac{1}{1+t^{2}}} est intégrable sur {\mathbb{R}}.

L’hypothèse de domination est donc satisfaite.

En conclusion, avec le théorème de convergence dominée : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\displaystyle\int_{\mathbb{R}}f_{n}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_\mathbb{R} f(t)\,\text{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}\text{e}^{-t^{2}}=\sqrt\pi}(cette dernière valeur était connue, c’est l’intégrale de Gauss).

Exercice 5.
On pose {u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\,\text{d}t}{{(1+t^{3})}^{n}}}. Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n}=0}.

Préciser la nature de la série {\displaystyle\sum u_{n}}.

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  • Pour tout {n\ge0}, on pose {f_{n}(t)=\dfrac{1}{{(1+t^{3})}^{n}}}.

    Les fonctions {f_{n}} sont continues (par morceaux) sur {]0,1]}.

    La suite {(f_{n})_{n\ge0}} converge simplement convergente sur {]0,1]} vers 0.

    Par ailleurs: {\forall\, n\in\mathbb{N},\;\forall\, t\in\,]0,1],\;\left|{f_{n}(t)}\right|\le 1}.

    Bien sur 1 est intégrable sur l’intervalle borné {]0,1]}.

    Remarque: on s’est placé sur {]0,1]} pour éviter d’évoquer la discontinuité de {\lim f_{n}} en {0} (qui n’a aucune incidence ni sur les arguments utilisés, ni sur le résultat).

    On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}f_{n}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{1}0\,\text{d}t=0}

  • On s’intéresse maintenant à la nature de la série {\displaystyle\sum u_{n}}.

    Pour {0\lt t\le 1}, on a: {\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f_{n}(t)=\biggl(1-\dfrac{1}{1+t^{3}}\biggr)^{-1}=1+\dfrac{1}{t^{3}}}

    (il s’agissait d’une série géométrique de raison {0\lt q=\dfrac{1}{1+t^{3}}\lt 1}).

    La série {\displaystyle\sum f_{n}} est donc CVS sur {]0,1]}.

    Mais sa somme {S\colon t\mapsto 1+\dfrac{1}{t^{3}}} n’est pas intégrable sur {]0,1]}.

    Il en résulte que la série {\displaystyle\sum u_{n}} est divergente, sans quoi on pourrait invoquer le théorème d’intégration terme à terme et il en résulterait notamment l’intégrabilité de {S}.