Théorème de convergence dominée

Publié le 11/10/17

Exercice 1.
Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}(t)\,\text{d}t=0}.
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Exercice 2.
Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{n}+\text{e}^{t}}\,\text{d}x=1-\dfrac{1}{\text{e}}}.
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Exercice 3.
Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{t^{n}}{1+t^{n+2}}\,\text{d}t=1}.
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Exercice 4.
Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\Bigl(1+\dfrac{t^{2}}{n}\Bigr)^{-n}\,\text{d}t=\sqrt{\pi}}
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Exercice 5.
On pose {u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\,\text{d}t}{{(1+t^{3})}^{n}}}. Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n}=0}.

Préciser la nature de la série {\displaystyle\sum u_{n}}.

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