Série de Taylor non suffisante

On pose {f(x)=\exp\Big(-\dfrac1{x^2}\Big)} pour x\ne 0, et {f(0)=0}.

  1. Montrer que {f} est {\mathcal{C}^{\infty}} sur {\mathbb{R}} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;f^{(n)}(0)=0}.
  2. La fonction {f} est-elle développable en série entière?

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Cet exercice peut-être considéré comme une question de cours.

  1. Par composition, {f} est {\mathcal{C}^{\infty}} sur {\mathbb{R}^{*}}.

    Montrons par récurrence qu’il existe {P_{n}\in\mathbb{R}[X]} tel que : {\forall\, x\in\mathbb{R}^{*},\;f^{(n)}(x)=\dfrac{P_{n}(x)}{x^{3n}}\exp\Big(-\dfrac1{x^2}\Big)}C’est vrai pour {n=0} avec {P_{0}=1}.

    On suppose que c’est vrai au rang {n\ge 0}.

    Alors, pour tout {x} dans {\mathbb{R}^{*}} :
    {\begin{array}{l}f^{(n+1)}(x)=\biggl(P_{n}(x)x^{-3n}\exp\Big(-\dfrac1{x^2}\Bigr)\bigg)'\\\\=\Bigl(P'_{n}(x)x^{-3n}-3nP_{n}(x)x^{-3n-1}+2P_{n}(x)x^{-3n-3}\Bigr)\exp\Big(-\dfrac1{x^2}\Bigr)\\\\=\dfrac{P_{n+1}(x)}{x^{3(n+1)}}\exp\Big(-\dfrac1{x^2}\Big)\end{array}}où on a posé {P_{n+1}(x)=x^{3}P_{n}'(x)-(3nx^{2}-2)P_{n}(x)\quad(\star)}.

    Cela prouve la propriété au rang {n+1} et achève la récurrence.

    La relation {(\star)} donne {P_{n+1}(0)=2P_{n}(0)}.

    Il en résulte {P_{n}(0)=2^{n}} pour tout n\in\mathbb{N}.

    Ainsi {f^{(n)}(x)\stackrel{x\rightarrow0}{\sim}\dfrac{2^{n}}{x^{3n}}\exp\Big(-\dfrac1{x^2}\Bigr)}.

    On effectue le changement de variable {t=\dfrac{1}{x}}.

    Cela conduit à {2^{n}t^{3n}\exp(-t^2)}, qui tend vers {0} quand {t\rightarrow\infty}.

    Ainsi : {\forall n\in\mathbb{N},\;\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f^{(n)}(x)=0}.

    Par une application répétée du “théorème de la limite de la dérivée” (PCSI) ou par une application du “théorème de classe {\mathcal{C}^{k}} par prolongement” (MPSI), il en résulte que {f} est {\mathcal{C}^{\infty}} sur {\mathbb{R}} et que {f^{(n)}(0)=0} pour tout {n} de {\mathbb{N}}.

  2. Supposons que {f} soit développable en série entière sur {I=]-r,r[}, avec r\ge0.

    Alors f est la somme {S(x)}, sur I, de sa série de Taylor.

    Mais {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\,\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\,\,x^n=0} sur {\mathbb{R}} (les coeffs sont nuls!).

    On arrive à une absurdité car f n’est pas la fonction nulle.

    Résumons: la série de Taylor de {f} est la série nulle (son rayon de convergence est infini!). Pourtant, {f} n’est égale à la somme de cette série sur aucun intervalle {]-r,r[}.