Résolutions d’équations (1/2)

Exercice 1.
Avec {a,b} donnés non nuls, et {x} inconnu, résoudre l’équation {\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{x+a+b}}
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Bien sûr on cherche {x} dans {E=\mathbb{R}\setminus\{0,-a-b\}}.

Pour tout {x} de {E}, on a l’équivalence :{\begin{array}{l}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{x+a+b}\\\\\quad\Leftrightarrow ((a+b)x+ab)(x+a+b)=abx\end{array}}Cela équivaut à : {(a+b)(x^2+(a+b)x+ab)=0}.

Cela équivaut donc à : {(x+a)(x+b)=0}.

Il y a donc deux solutions, {x=-a} et {x=-b}.

Exercice 2.
Résoudre dans {\mathbb{R}} l’équation {(E):\ \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+2}=2}.
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On a les équivalences :
{\begin{array}{rl}(E)&\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}=2+\sqrt{x+2}\\\\&\text{(les deux membres sont postififs, et on élève au carré)}\\\\&\Leftrightarrow2x+3=4+4\sqrt{x+2}+x+2\\\\&\Leftrightarrow x-3=4\sqrt{x+2}\end{array}}[/lateOn élève au carré (avec la condition [latex]{x\ge3} pour garder l'équivalence) : {\begin{array}{rl}(E)&\Leftrightarrow\begin{cases}(x-3)^2=16(x+2)\cr x\ge3\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-22x-23=0\cr x\ge3\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}(x-23)(x+1)=0\cr x\ge3\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow x=23\end{array}}La seule solution de {(E)} est donc {x=23}.

Exercice 3.
Résoudre dans {\mathbb{R}} l'équation : {\sqrt{x-9}+\sqrt{x-24}=x}.
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Pour {x\ge24}, on a {\sqrt{x-24}\lt \sqrt{x-9}} donc {\sqrt{x-9}+\sqrt{x-24}\lt 2\sqrt{x-9}}.

Or pour tout {x\ge9}, on a {2\sqrt{x-9}\lt x}. En effet ces deux quantités positives sont dans le même ordre que leurs carrés {4(x-9)} et {x^2}, et le polynôme {x^2-4(x-9)=x^2-4x+36} (dont le discriminant réduit est {\Delta'=-32\lt 0}) reste strictement positif sur {\mathbb{R}}.

Pour tout {x\ge24}, on a donc {\sqrt{x-9}+\sqrt{x-24}\lt 2\sqrt{x-9}\lt x}.

L’équation {\sqrt{x-9}+\sqrt{x-24}=x} n’a donc pas de solution sur {\mathbb{R}}.

Exercice 4.
Résoudre l'équation :{(E):~\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1}
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Pour {x\ge1}, on a {\begin{cases}x+3-4\sqrt{x-1}=(\sqrt{x-1}-2)^2\\x+8-6\sqrt{x-1}=(\sqrt{x-1}-3)^2\end{cases}}

Ainsi {(E)\Leftrightarrow\varphi(x)=1}, où {\varphi(x)=\left|{\sqrt{x-1}-2}\right|+\left|{\sqrt{x-1}-3}\right|}.

  • Si {x\in[1,5[}, on a :{\begin{array}{rl}\varphi(x)&=-(\sqrt{x-1}-2)-\sqrt{x-1}-3)\\\\&=-2\sqrt{x-1}+1\lt 1\end{array}}
  • Si {x\in [5,10]}, on a :{\varphi(x)=(\sqrt{x-1}-2)-(\sqrt{x-1}-3)=1}
  • Si {x\in ]10,+\infty[}, on a :{\begin{array}{rl}\varphi(x)&=(\sqrt{x-1}-2)+(\sqrt{x-1}-3)\\\\&=2\sqrt{x-1}-5>1\end{array}}

L’ensemble des solutions de l’équation {(E)} est donc {[5,10]}.