Quatre résolutions d’inéquation

Exercice 1.
Résoudre dans {\mathbb{R}} l’inéquation {(I):\;\Bigl(\dfrac{2x}{1-\sqrt{1+2x}}\Bigr)^2\lt 2x+9}
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Il ne peut y avoir de solution réelle {x} que si {2x+1\ge0}.

Remarquons aussi que {x=0} est en dehors du domaine.

On pose {y=\sqrt{2x+1}} donc {x=\dfrac{y^2-1}{2}}, avec {y\ge0} et {y\ne1}.

On a alors les équivalences :
{\begin{array}{rl}(I)&\Leftrightarrow\Bigl(\dfrac{y^2-1}{1-y}\Bigr)^2\lt y^2+8\\\\&\Leftrightarrow(y+1)^2\lt y^2+8\Leftrightarrow 2y\lt 7\\\\&\Leftrightarrow\sqrt{2x+1}\lt \dfrac72\\\\&\Leftrightarrow0\le 2x+1\lt \dfrac{49}{4}\Leftrightarrow -\dfrac12\le x\lt \dfrac{45}{8}\end{array}}L’ensemble des solutions est finalement : {\biggl[-\dfrac12,0\biggr[\cup\biggl]0,\dfrac{45}{8}\biggr[}.

NB: la fonction {\varphi\,\colon x\mapsto \dfrac{2x}{1-\sqrt{1+2x}}} se prolonge par continuité en {0} par {\varphi(0)=-2}.

Après ce prolongement, {x=0} devient solution de l’inéquation (I).

Exercice 2.
Résoudre dans {\mathbb{R}} l’inéquation {(I):\;\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\dfrac12}.
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Les solutions éventuelles appartiennent nécessairement à {[-1,3]}.

Notons que si {1\le x\le 3} alors {\sqrt{3-x}\le \sqrt{x+1}\le 0}.

On peut donc se limiter à {[-1,1[}. Dans ces conditions :
{\begin{array}{rl}(I)&\Leftrightarrow 4-2\sqrt{(3-x)(x+1)}>\dfrac14\\\\&\Leftrightarrow(3-x)(x+1)\lt \dfrac{225}{64}\\\\&\Leftrightarrow x^2-2x>3-\dfrac{225}{64}\\\\&\Leftrightarrow (1-x)^2>\dfrac{31}{64}\Leftrightarrow 1-x>\dfrac{\sqrt{31}}{8}\end{array}}Conclusion: l’ensemble des solutions est {\biggl[-1,1-\dfrac{\sqrt{31}}{8}\biggr[}

Exercice 3.
Résoudre dans {\mathbb{R}} l’inéquation {(I):\;2x+1\lt \sqrt{x^2+8}}.
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Notons que si {x\lt -\dfrac12} alors {2x+1\lt 0\lt \sqrt{x^2+8}}.

Si on suppose {x\ge-\dfrac12}, on ne change rien par élévation au carré :
{\begin{array}{rl}(I)&\Leftrightarrow(2x+1)^2\lt x^2+8\\\\&\Leftrightarrow 3x^2+4x-7\lt 0\\\\&\Leftrightarrow (x-1)(3x+7)\lt 0\Leftrightarrow x\in\Big]-\dfrac73,1\Big[\end{array}}Conclusion : l’ensemble des solutions de {(I)} est {]-\infty,1[}.

Exercice 4.
Résoudre dans {\mathbb{R}} l’inéquation {(I):\;x+\sqrt{x^2-5x+4}\lt 2}.
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Le domaine de définition {\mathcal D} est {]-\infty,1]\cup[4,+\infty[}.

Notons aussi que si {x\ge4} alors {\sqrt{x^2-5x+4}\gt 2-x}.

Il n’y a donc pas de solution dans [4,+\infty[.

On peut donc supposer {x\le1} (pour rester dans le domaine {\mathcal D}).

Cela permet d’écrire : {\begin{array}{rl}(I)&\Leftrightarrow \sqrt{x^2-5x+4}\lt 2-x\\\\&\Leftrightarrow x^2-5x+4\lt (2-x)^2\Leftrightarrow x>0\end{array}}Conclusion : l’ensemble des solutions de {(I)} est l’intervalle {]0,1]}.