Par contraposition ou par l’absurde

Exercice 1.
Soit {n} un entier, montrer que si {n^{2}} est pair alors {n} est pair.
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Il revient au même de prouver que si {n} est impair, alors {n^{2}} est impair.

Et en effet, si {n=2m+1}, alors {n^{2}=4m^{2}+4m+1} est impair.

Exercice 2.
Soit {x} un irrationnel positif. Montrer que {\sqrt{x}} est irrationnel.
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La contraposée “si {y=\sqrt{x}} est rationnel, alors {y^{2}=x} est rationnel”, est évidente.

Exercice 3.
Montrer que {2014} ne peut pas s’écrire comme la somme de deux carrés.
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Par l’absurde, supposons que {2014=n^{2}+m^{2}}, avec {n} et {m} dans {\mathbb{N}}.

Alors en particulier {n^{2}+m^{2} =2014\equiv ~[8]}, c’est-à-dire {n^{2}+m^{2}\equiv 6~[8]}.

Mais si {r} parcourt {[\![0,7]\!]}, alors {r^{2}} modulo {8} prend les valeurs {0,1,4,1,0,1,4,1}.

En particulier {n^{2}+m^{2}} modulo 8 ne prend que les valeurs {0,1,2,4,5}.

On aboutit donc à une contradiction : {2014} n’est pas la somme de deux carrés.

Exercice 4.
Montrer que {\sqrt2} est un nombre irrationnel.
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Par l’absurde, on suppose {\sqrt2} rationnel.

Il s’écrit alors {\sqrt2=\dfrac{a}{b}}, avec {a,b} dans {\mathbb{N}^{*}}, premiers entre eux.

Ainsi {a^{2}=2b^{2}}, donc {a^{2}} est pair, donc {a} est pair. Posons {a=2m} ({m\in\mathbb{N}^{*}}).

L’égalité {a^{2}=2b^{2}} devient {b^{2}=2m^{2}}. Ainsi {b^{2}} est pair, donc {b} est pair (comme {a}).

Mais c’est absurde, car on a précisément supposé {a} et {b} premiers entre eux.

Exercice 5.
On pose {{\mathcal D}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2, x^2+y^2\le1\}}
Montrer que {{\mathcal D}} n’est pas le produit cartésien de deux parties de {\mathbb{R}}.
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Par l’absurde, supposons qu’il existe {A\subset\mathbb{R}} et {B\subset\mathbb{R}} tels que {{\mathcal D}=A\times B}.

Les deux points {M(1,0)} et {N(0,1)} appartiennent à {\mathcal D}.

On en déduit que {1} appartient à {A} et à {B}.

Ainsi {P(1,1)} appartient à {A\times B} c’est-à-dire à {\mathcal D}, ce qui est absurde.

Conclusion: {\mathcal D} n’est pas le produit cartésien de deux parties de {\mathbb{R}}.

Exercice 6.
On considère une famille finie d’ensembles distincts deux à deux.
Montrer que l’un au moins de ces ensembles ne contient aucun des autres.
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Notons {A_1,A_2,\ldots,A_n} cette famille d’ensembles distincts deux à deux.

On raisonne par l’absurde.

L’ensemble {A_1} contient donc l’un des autres ensembles, noté {A_{k_1}}, de la famille.

De même, {A_{k_1}} contient l’un des autres ensembles de la famille, noté {A_{k_2}}. En itérant, on construit une famille infinie d’indices {k_0=1,k_1,\ldots} tels que {A_{k_0}\supset A_{k_1}\supset A_{k_2}\supset\cdots}.

Par construction, deux indices successifs quelconques dans cette liste sont toujours distincts, ce qui implique que les inclusions successives sont strictes.

Ainsi on construit une suite infinie d’ensembles distincts deux à deux extraits de la famille {A_1,\ldots,A_n} initiale, ce qui est absurde.

Conclusion: l’un au moins des {A_1,\ldots,A_n} ne contient aucun des autres.