Logique, quantificateurs

Publié le 13/10/17

Exercice 1.
Prouver que l’équivalence suivante est toujours vraie : {(\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B})\Leftrightarrow(\overline{\mathcal{A}}\;\text{ou}\;\mathcal{B})}
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Exercice 2.
Prouver que l’équivalence suivante est toujours vraie : {(\mathcal{A}\;\text{ou}\;(\mathcal{B}\;\text{et}\;\mathcal{C}))\Leftrightarrow((\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B})\;\text{et}\;(\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{C}))}
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Exercice 3.
Décrire les parties de {\mathbb{R}} définies par les propositions (vraies) suivantes :

  1. {(x > 0\;\text{et}\;x \lt 1)\;\text{ou}\;x = 0}
  2. {x > 3\;\text{et}\;x \lt 5\;\text{et}\;x \ne 4}
  3. {(x \leqslant 0\;\text{et}\;x > 1)\;\text{ou}\;x = 4}
  4. {x \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant 2}.

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Exercice 4.
Soient {I} un intervalle de {\mathbb{R}} et {f:I \rightarrow \mathbb{R}} une fonction.
Exprimer verbalement la signification des propositions suivantes:

  1. {\exists\, \lambda \in \mathbb{R},\;\forall\, x \in I,\;f(x) = \lambda}
  2. {\forall\, x \in I,\;f(x) = 0 \Rightarrow x = 0}
  3. {\forall\, y \in \mathbb{R},\;\exists\, x \in I,\;f(x) = y}
  4. {\forall\, (x,y) \in I^{2},\;x \leqslant y \Rightarrow f(x) \leqslant f(y)}
  5. {\forall\, (x,y) \in I^{2},\;f(x) = f(y) \Rightarrow x = y}

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Exercice 5.
Soient {I} un intervalle de {\mathbb{R}} et {f:I \rightarrow \mathbb{R}} une fonction.
Exprimer à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes :

  1. la fonction {f} s’annule
  2. la fonction {f} est la fonction nulle
  3. {f} n’est pas une fonction constante
  4. {f} ne prend jamais deux fois la même valeur
  5. la fonction {f} présente un minimum
  6. {f} prend des valeurs arbitrairement grandes
  7. {f} ne peut s’annuler qu’une seule fois

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Exercice 6.
Soient {I} un intervalle de {\mathbb{R}} non vide et {f:I \rightarrow \mathbb{R}} une fonction.
Exprimer les négations des propositions suivantes:

  1. {\forall\, x \in I,\;f(x) \ne 0}
  2. {\forall\, y \in \mathbb{R},\;\exists\, x \in I,\;f(x) = y}
  3. {\exists\, M \in \mathbb{R},\;\forall\, x \in I,\;\left| {f(x)} \right| \leqslant M}
  4. {\forall\, (x,y) \in I^{2},\;x \leqslant y \Rightarrow f(x) \leqslant f(y)}
  5. {\forall\, (x,y) \in I^{2},\;f(x) = f(y) \Rightarrow x = y}
  6. {\forall\, x \in I,\;f(x) > 0 \Rightarrow x \leqslant 0}

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Exercice 7.
Soit {f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} une fonction.
Indiquer à chaque fois la différence de sens entre les deux propositions :

  1. {\big(\forall\, x \in \mathbb{R},\;\exists\, y \in \mathbb{R},\;y = f(x)\big)\;} et {\;\big(\exists\, y \in \mathbb{R},\;\forall\, x \in \mathbb{R},\;y = f(x)\big)}
  2. {\big(\forall\, y \in \mathbb{R},\;\exists\, x \in \mathbb{R},\;y = f(x)\big)\;} et {\;\big(\exists\, x \in \mathbb{R},\;\forall\, y \in \mathbb{R},\;y = f(x)\big)}
  3. {\big(\forall\, x \in \mathbb{R},\;\exists\, M \in \mathbb{R},\;f(x) \leqslant M\big)\;} et {\;\big(\exists\, M \in \mathbb{R},\;\forall\, x \in \mathbb{R},\;f(x) \leqslant M\big)}

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