Logique, quantificateurs

Exercice 1.
Prouver que l’équivalence suivante est toujours vraie : {(\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B})\Leftrightarrow(\overline{\mathcal{A}}\;\text{ou}\;\mathcal{B})}
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On forme les tableaux de vérité de {(\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B})} et de {(\overline{\mathcal{A}}\;\text{ou}\;\mathcal{B})}:
{\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\,\mathcal{A}\,&\,\mathcal{B}\,&\,\overline{\mathcal{A}}\,&\,\mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{B}\,&\,\overline{\mathcal{A}}\;\text{ou}\;\mathcal{B}\\\\V&V&F&V&V\cr V&F&F&F&F\cr F&V&V&V&V\cr F&F&V&V&V\end{array}}Les propositions {(\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B})} et {(\overline{\mathcal{A}}\;\text{ou}\;\mathcal{B})} sont donc synonymes (équivalentes)
Exercice 2.
Prouver que l’équivalence suivante est toujours vraie : {(\mathcal{A}\;\text{ou}\;(\mathcal{B}\;\text{et}\;\mathcal{C}))\Leftrightarrow((\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B})\;\text{et}\;(\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{C}))}
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On dresse un tableau de vérité où apparaissent les huit cas possibles pour {\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}}:
{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\;\mathcal{A}\;&\;\mathcal{B}\;&\;\mathcal{C}\;&\mathcal{B}\;\text{et}\;\mathcal{C}&\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B}&\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{C}&\begin{array}{c}\mathcal{A}\\\;\text{ou}\;\\(\mathcal{B}\;\text{et}\;\mathcal{C})\end{array}&\begin{array}{c}(\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B})\\\;\text{et}\;\\(\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{C})\end{array}\\\\ V&V&V&V&V&V&V&V\cr V&V&F&F&V&V&V&V\cr V&F&V&F&V&V&V&V\cr V&F&F&F&V&V&V&V\cr F&V&V&V&V&V&V&V\cr F&V&F&F&V&F&F&F\cr F&F&V&F&F&V&F&F\cr F&F&F&F&F&F&F&F\end{array}}On constate bien que l’équivalence {(\mathcal{A}\;\text{ou}\;(\mathcal{B}\;\text{et}\;\mathcal{C}))\Leftrightarrow((\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B})\;\text{et}\;(\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{C}))} est toujours vraie.
Exercice 3.
Décrire les parties de {\mathbb{R}} définies par les propositions (vraies) suivantes :

  1. {(x > 0\;\text{et}\;x \lt 1)\;\text{ou}\;x = 0}
  2. {x > 3\;\text{et}\;x \lt 5\;\text{et}\;x \ne 4}
  3. {(x \leqslant 0\;\text{et}\;x > 1)\;\text{ou}\;x = 4}
  4. {x \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant 2}.

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  1. {[\,0,1\,[}
  2. {]\,3,4\,[\,\cup\,]\,4,5\,[}, ou encore {]\,3,5\,[\,\setminus\,\{4\}}
  3. {\{4\}}
  4. {]-\infty,0\,[\,\cup\,[\,2,+\infty[}

Exercice 4.
Soient {I} un intervalle de {\mathbb{R}} et {f:I \rightarrow \mathbb{R}} une fonction.
Exprimer verbalement la signification des propositions suivantes:

  1. {\exists\, \lambda \in \mathbb{R},\;\forall\, x \in I,\;f(x) = \lambda}
  2. {\forall\, x \in I,\;f(x) = 0 \Rightarrow x = 0}
  3. {\forall\, y \in \mathbb{R},\;\exists\, x \in I,\;f(x) = y}
  4. {\forall\, (x,y) \in I^{2},\;x \leqslant y \Rightarrow f(x) \leqslant f(y)}
  5. {\forall\, (x,y) \in I^{2},\;f(x) = f(y) \Rightarrow x = y}

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  1. {f} est constante sur {I}
  2. {f} ne peut s’annuler qu’en {x=0} (ça ne veut pas dire qu’elle s’annule en {0})
  3. {f} prend au moins une fois toute valeur réelle (i.e. {f} est surjection de {I} sur {\mathbb{R}}).
  4. {f} est croissante (par défaut, c’est au sens large) sur {I}.
  5. {f} ne prend jamais deux fois la même valeur sur {I} (i.e. {f} est injective sur {I}).

Exercice 5.
Soient {I} un intervalle de {\mathbb{R}} et {f:I \rightarrow \mathbb{R}} une fonction.
Exprimer à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes :

  1. la fonction {f} s’annule
  2. la fonction {f} est la fonction nulle
  3. {f} n’est pas une fonction constante
  4. {f} ne prend jamais deux fois la même valeur
  5. la fonction {f} présente un minimum
  6. {f} prend des valeurs arbitrairement grandes
  7. {f} ne peut s’annuler qu’une seule fois

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  1. {\exists\, x\in I,\; f(x)=0}
  2. {\forall\, x\in I,\; f(x)=0}
  3. {\exists\, (x,y)\in I^{2},\; f(x)\ne f(y)}
  4. {\forall\, (x,y)\in I^{2},\; x\ne y\Rightarrow f(x)\ne f(y)}
  5. {\exists\, a\in I,\;\forall\, x\in I,\; f(x)\ge f(a)}
  6. {\forall\, M\in \mathbb{R},\;\exists\, x\in I,\; f(x)\ge M}
  7. {\forall\, (x,y)\in I^{2},\;f(x)=f(y)=0\Rightarrow x=y}

Exercice 6.
Soient {I} un intervalle de {\mathbb{R}} non vide et {f:I \rightarrow \mathbb{R}} une fonction.
Exprimer les négations des propositions suivantes:

  1. {\forall\, x \in I,\;f(x) \ne 0}
  2. {\forall\, y \in \mathbb{R},\;\exists\, x \in I,\;f(x) = y}
  3. {\exists\, M \in \mathbb{R},\;\forall\, x \in I,\;\left| {f(x)} \right| \leqslant M}
  4. {\forall\, (x,y) \in I^{2},\;x \leqslant y \Rightarrow f(x) \leqslant f(y)}
  5. {\forall\, (x,y) \in I^{2},\;f(x) = f(y) \Rightarrow x = y}
  6. {\forall\, x \in I,\;f(x) > 0 \Rightarrow x \leqslant 0}

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  1. {\exists\, x \in I,\;f(x) = 0}
  2. {\exists\, y \in \mathbb{R},\;\forall\, x \in I,\;f(x) \ne y}
  3. {\forall\, M \in \mathbb{R},\;\exists\, x \in I,\;\left| {f(x)} \right| > M}
  4. {\exists\, (x,y) \in I^{2},\;(x \lt y)} et {(f(x)> f(y))}
  5. {\exists\, (x,y) \in I^{2},\;(x \ne y)} et {(f(x)= f(y))}
  6. {\exists\, x \in I,\;(f(x) > 0)} et {(x> 0)}

Exercice 7.
Soit {f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} une fonction.
Indiquer à chaque fois la différence de sens entre les deux propositions :

  1. {\big(\forall\, x \in \mathbb{R},\;\exists\, y \in \mathbb{R},\;y = f(x)\big)\;} et {\;\big(\exists\, y \in \mathbb{R},\;\forall\, x \in \mathbb{R},\;y = f(x)\big)}
  2. {\big(\forall\, y \in \mathbb{R},\;\exists\, x \in \mathbb{R},\;y = f(x)\big)\;} et {\;\big(\exists\, x \in \mathbb{R},\;\forall\, y \in \mathbb{R},\;y = f(x)\big)}
  3. {\big(\forall\, x \in \mathbb{R},\;\exists\, M \in \mathbb{R},\;f(x) \leqslant M\big)\;} et {\;\big(\exists\, M \in \mathbb{R},\;\forall\, x \in \mathbb{R},\;f(x) \leqslant M\big)}

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  1. La première phrase dit que l’image par {f} d’un réel est un réel (trivialement vrai).
    La deuxième dit que {f} est constante.
  2. La première phrase dit que {f} prend toutes les valeurs réelles au moins une fois (elle est surjective). La deuxième est fausse (car elle prétend qu’il y a un {x} de {\mathbb{R}} dont l’image {f(x)} est égale à tous les réels).
  3. La première phrase est trivialement vraie (pour tout {x} de {\mathbb{R}}, le choix {M=x} convient).
    La deuxième phrase dit que {f} est majorée sur {\mathbb{R}}.