Les intégrales de Wallis et Futuna

Publié le 06/10/17

Pour {n\ge1}, soit {F_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\,\text{d}t}{\,\text{ch}^{n}(t)}} (intégrales de Futuna).

  1. Pouver l’existence de {F_{1},F_{2}}, et calculer leurs valeurs.
  2. Prouver l’existence de {F_{n}} et trouver une relation de récurrence.
  3. Calculer les intégrales {F_{2n}} et {F_{2n+1}}.
  4. Pour {n\in\mathbb{N}}, on pose {W_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\!\!\cos^n(x)\;\text{d}x} (intégrales de Wallis).

    Pour tout {n\ge 1}, prouver l’égalité {F_n=W_{n-1}}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé