Injections et surjections

Publié le 25/10/17

Exercice 1.
Soient {f:E\rightarrow F} et {g:F\rightarrow G} deux applications.
Montrer les implications suivantes :

  1. Si {g\circ f} est surjective alors {g} est surjective
  2. Si {g\circ f} est injective alors {f} est injective
  3. Si {g\circ f} est surjective et {g} injective, alors {f} est surjective
  4. Si {g\circ f} est injective et {f} surjective, alors {g} est injective

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Exercice 2.
Soit {f\colon E\to F} une application. Montrer que f est injective si et seulement si {f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)} pour toutes parties {A,B} de {E}, .
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Exercice 3.
Soit {f} une application de {E} dans {F}.
Soit {g\colon{\mathcal P}(F)\rightarrow{\mathcal P}(E)} par : {\forall\, Y\subset F}, {g(Y)=f^{-1}(Y)}.

  1. Montrer que {g} est injective si et seulement si {f} est surjective.
  2. Montrer que {g} est surjective si et seulement si {f} est injective.

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Exercice 4.
Soit {f\colon E\to F}. Montrer que {f} est surjective si et seulement si, pour tout ensemble {G} et toutes applications {g,h:F\rightarrow G}, on a l’implication : {g\circ f=h\circ f\Rightarrow g=h})
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Exercice 5.
Soit {E} un ensemble quelconque.
Montrer qu’il n’y a pas de surjection de {E} sur {{\mathcal P}(E)}.
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Exercice 6.
Soit {f} une application de {E} dans {F}.

  1. Montrer que pour tout {A\subset E}, on a {f^{-1}(f(A))\supset A}.
  2. Montrer que pour tout {B\subset F}, on a {f(f^{-1}(B))=f(E)\cap B}.
  3. Prouver que ({f} injective) {\Leftrightarrow (\forall\, A\subset E,f^{-1}(f(A))=A)}.
  4. Prouver ({f} surjective) {\Leftrightarrow \forall\, B\subset F,\;f(f^{-1}(B))=B}.

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