Applications bijectives

Publié le 26/10/17

Exercice 1.
Soient {f:E\rightarrow F}, {g:F\rightarrow G} et {h:G\rightarrow E} trois applications.
Montrer que si, parmi les trois applications {h\circ g\circ f},
{g\circ f\circ h} et {f\circ h\circ g}, deux sont surjectives et la troisième injective (ou deux sont injectives et la troisième surjective) alors {f}, {g}, et {h} sont bijectives.
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Exercice 2.
Soit {f\colon E\to E}. Montrer que {f} est bijective si et seulement si pour toute partie {A} de {E}, {f(\overline{A})=\overline{f(A)}} (on note {\overline{A}} le complémentaire de {A} dans {E}).
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Exercice 3.
Soient {f:E\rightarrow F}, {g:F\rightarrow G} et {h:G\rightarrow H} trois applications.
Montrer que si {g\circ f} et {h\circ g} sont bijectives, alors {f,g,h} sont bijectives.
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Exercice 4.
Soient {E} un ensemble non vide, et {A,B} deux parties de {E}.
On note {[A,A\cup B]=\{X\subset E, A\subset X\subset A\cup B\}}.
De même {[A\cap B,B]=\{Y\subset E, A\cap B \subset Y\subset B\}}.
On définit {f:[A,A\cup B]\rightarrow [A\cap B,B]} par {f(X)=X\cap B}.
On définit {g:[A\cap B,B]\rightarrow [A,A\cup B]} par {g(Y)=Y\cup A}.
Montrer que {f,g} sont des bijections réciproques l’une de l’autre.
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Exercice 5.
Soient {A,B} deux parties non vides d’un ensemble {E}.
Soit {f\colon {\mathcal P}(E)\to {\mathcal P}(A)\times{\mathcal P}(B)} définie par {f(X)=(X\cap A,X\cap B)}.

  1. Montrer : ({f} injective) {\Leftrightarrow (A\cup B=E)}.
  2. Montrer : ({f} surjective) {\Leftrightarrow (A\cap B=\emptyset)}.
  3. Quand {f} est bijective, déterminer {f^{-1}}.

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Exercice 6.
Soit {A} une partie d’un ensemble {E}.
On lui associe {\chi_A\colon E\to \{0,1\}} définie par {\chi_A(x)=\begin{cases}1\text{ si }x\in A\\0\text{ si }x\not\in A\end{cases}}
Montrer que {A\mapsto\chi_A} est une bijection de {{\mathcal P}(E)} sur {{\mathcal F}(E,\{0,1\})}.
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