Rotations vectorielles du plan

Exercice 1.
On se place dans le plan {\mathbb{R}^2} euclidien orienté.
Soit {r} la rotation vectorielle d’angle {\,\theta\mod{2\pi}}, avec {\,\theta\ne 0~[\pi]}.
Soit {u\ne0} dans {\mathbb{R}^2}. Écrire la matrice de {r} dans la base {\{u,r(u)\}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
La matrice de {r} dans toute base orthonormée directe est {R(\,\theta)=\begin{pmatrix}\cos(\,\theta)&-\sin(\,\theta)\cr\sin(\,\theta)&\cos(\,\theta) \end{pmatrix}}

Puisque {\,\theta\ne0~[\pi]}, les vecteurs {u,r(u)} sont linéairement indépendants.

La matrice de {r} dans {\{u,r(u)\}} s’écrit {M=\begin{pmatrix}0&a\cr 1&b\end{pmatrix}}, avec {(a,b)\in\mathbb{R}^2}.

Par conservation de la trace par changement de base, on a : {\text{tr}(M)=\text{tr}(R(\,\theta))=2\cos(\,\theta)}.

Par conservation du déterminant : {\det(M)=\det(R(\,\theta))=1}.

Ainsi {\begin{cases}b=2\cos(\,\theta)\\a=-1\end{cases}} donc {M=\begin{pmatrix}0&-1\cr 1&2\cos(\,\theta)\end{pmatrix}}.

Exercice 2.
On se place dans le plan {\mathbb{R}^2} euclidien orienté.
Soit {r\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)}, de matrice {A=\begin{pmatrix}7&25\cr -2&-7\end{pmatrix}} dans la base {\begin{cases}u_1=(1,1)\\ u_2=(3,4)\end{cases}}
Montrer que {r} est une rotation vectorielle.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Notons que {\det(r)=\det(A)=1}.

Il est donc possible que {r} soit une rotation vectorielle.

La matrice {A} n’est pas orthogonale, mais de toutes façons {(u_1,u_2)} n’est pas orthonormée.

Notons également que {\text{tr}(A)=0}.

Si {r} est une rotation d’angle {\,\theta}, alors {\text{tr}(r)=2\cos(\,\theta)} donc {\cos(\,\theta)=0} donc {\,\theta=\pi/2~[2\pi]}.

La matrice de passage de la base canonique à {(u_1,u_2)} est : {P=\begin{pmatrix}1&3\cr 1&4\end{pmatrix},\text{\ et on a\ }P^{-1}=\begin{pmatrix}4&-3\cr -1&1\end{pmatrix}}La matrice de {r} dans la base canonique (orthonormée directe) est donc : {\begin{array}{rl}B&=PAP^{-1}=\begin{pmatrix}1&3\cr 1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7&25\cr -2&-7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-3\cr -1&1\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}1&4\cr -1&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-3\cr -1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\cr -1&0\end{pmatrix}\end{array}}On en déduit que {r} est la rotation vectorielle d’angle {-\pi/2~[2\pi]}.

Exercice 3.
On se place dans le plan {\mathbb{R}^2} euclidien orienté.
Soit {r} une rotation de matrice {A} dans une base quelconque {\varepsilon_1,\varepsilon_2}.
Pour toute rotation {\rho}, montrer que la matrice de {r} dans {\rho(\varepsilon_1),\rho(\varepsilon_2)} est encore {A}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Supposons {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}} c’est-à-dire {\begin{cases}r(\varepsilon_1)=a\,\varepsilon_1+c\,\varepsilon_2\cr r(\varepsilon_2)=b\,\varepsilon_1+d\,\varepsilon_2\end{cases}}

On sait que deux rotations vectorielles quelconques du plan commutent.

On en déduit :{\begin{array}{rl}r(\rho(\varepsilon_1))&=\rho(r(\varepsilon_1))=\rho(a\,\varepsilon_1+c\,\varepsilon_2)\\\\&=a\rho(\varepsilon_1)+b\rho(\varepsilon_2)\end{array}}De même, {r(\rho(\varepsilon_2))=b\rho(\varepsilon_1)+d\rho(\varepsilon_2)}.

La matrice de {r} dans {\rho(\varepsilon_1),\rho(\varepsilon_2)} est donc encore {A}.