Rayons et sommes de séries entières

Exercice 1.
Rayon de convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n\ge0} a_nz^n}, où {a_n=(2+(-1)^n)^n}.
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Pour tout {p} de {\mathbb{N}}, on a {\begin{cases}a_{2p}=3^{2p}\\ a_{2p+1}=1\end{cases}}.

Ainsi {\left|\dfrac{a_{n+1}z^{n+1}}{a_{n}z^{n}}\right|} vaut {\dfrac{\left|z\right|}{3^{2p}}} si {n=2p}, et {3^{2p}\left|{z}\right|} si {n=2p-1}.

Ce quotient n’ayant pas de limite en {+\infty}, on ne peut utiliser la règle de D’Alembert.

Formellement, on a les égalités : {\begin{array}{rl}\displaystyle\sum a_nx^n&=\displaystyle\sum a_{2p}x^{2p}+\displaystyle\sum a_{2p+1}x^{2p+1}\\\\&=\displaystyle\sum(3x)^{2p}+\displaystyle\sum x^{2p+1}\end{array}}Mais {\displaystyle\sum(3x)^{2p}=\dfrac{1}{1-(3x)^2}} si {\left|{x}\right|\lt R_{1}=\dfrac{1}{3}} (série divergente sinon).

De même {\displaystyle\sum x^{2p+1}=\dfrac{x}{1-x^2}} si {\left|{x}\right|\lt R_{2}=1} (série divergente sinon).

Le rayon {R} de {\sum a_nz^{n}} est donc {\min(R_1,R_2)=\dfrac13}.

Conclusion : pour {\left|{x}\right|\lt \dfrac13}, {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n=\dfrac{1}{1-9x^2}+\dfrac{x}{1-x^2}}.

Exercice 2.
Rayon de convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{x^{2n}}{2n+1}}.
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Posons {u_{n}=\dfrac{x^{2n}}{2n+1}}, avec {x\ne0}.

Alors {\left|{\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}}\right|=\dfrac{2n+1}{2n+3}\left|{x}\right|^{2}\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}\left|{x}\right|^{2}}.

Ainsi {\displaystyle\sum\left|{u_{n}}\right|} converge si {\left|{x}\right|\lt 1} et diverge si {\left|{x}\right|>1}.

Le rayon de la série entière {\displaystyle\sum\dfrac{x^{2n}}{2n+1}} vaut donc {1}.

Les calculs suivants sont effectués pour tout {x} de {]-1,1[} : {\begin{array}{rl}xf(x)&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\displaystyle\int_{0}^{x}t^{2n}\,\text{d}t\\\\&=\displaystyle\int_{0}^{x}\Bigl(\sum_{n=0}^{+\infty}t^{2n}\Bigr)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\,\text{d}t}{1-t^{2}}=\dfrac{1}{2}\ln\Bigl(\dfrac{1+x}{1-x}\Bigr)\end{array}}Ainsi : {\forall x\in]-1,1[,\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n}}{2n+1}=\dfrac{1}{2x}\ln\Bigl(\dfrac{1+x}{1-x}\Bigr)}.

Exercice 3.
Rayon de convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n+1}n\,x^{2n+1}}.
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Posons {u_{n}=(-1)^{n+1}n\,x^{2n+1}}, avec {x\ne0}.

Alors {\left|{\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}}\right|=\dfrac{n+1}{n}\left|{x}\right|^{2}\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}\left|{x}\right|^{2}}.

Ainsi {\displaystyle\sum\left|{u_{n}}\right|} converge si {\left|{x}\right|\lt 1} et diverge si {\left|{x}\right|>1}.

On en déduit que le rayon de convergence de {\displaystyle\sum(-1)^{n+1}n\,x^{2n+1}} vaut {1}.

Sur {]-1,1[}, on sait que : {f(x)=\dfrac{1}{1+x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}x^{n}}.

On dérive terme à terme et on obtient : {f'(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^{2}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}nx^{n-1}}Ensuite {f'(x^{2})=-\dfrac{1}{(1+x^{2})^{2}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}nx^{2n-2}}.

Enfin {\dfrac{x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}n\,x^{2n+1}}.

Exercice 4.
Préciser le rayon de convergence {R} et la somme {S} de la série entière {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{n^3}{n!}x^n}.
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Le rayon est {+\infty} car {a_n=\dfrac{n^3}{n!}} vérifie {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=0}.

On écrit {n^3=n+3n(n-1)+n(n-1)(n-2)}.

Ainsi, pour tout {x} de {\mathbb{R}} :
{\begin{array}{rl}S(x)&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^3}{n!}x^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n+3n(n-1)+n(n-1)(n-2)}{n!}x^n\\\\&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n}{n!}x^n+3\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n(n-1)}{n!}x^n+\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n(n-1)(n-2)}{n!}x^n\\\\&=x\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}+3x^2\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{x^{n-2}}{(n-2)!}+\displaystyle\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{x^{n-3}}{(n-3)!}\\\\&=(x+3x^2+x^3)\text{e}^x\end{array}}