Quelques rayons de convergence

Exercice 1.
Soit {a_{n}} la {n}-ième décimale de {\pi}.
Préciser le rayon de convergence {R} de la série entière {\displaystyle\sum_{n\ge1} a_{n}z^{n}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
La suite {(a_{n})_{n\ge1}} est bornée (les {a_{n}} sont dans {[[ 0,9]]}) donc {R\ge 1}.

La suite d’entiers {(a_{n})_{n\ge1}} ne stationne pas en {0} ({\pi} n’est pas décimal).

Elle ne tend donc pas vers {0}, donc {\displaystyle\sum a_n} diverge, donc {R\le 1}.

Exercice 2.
Préciser le rayon de convergence {R} de {\displaystyle\sum_{n\ge2} a_{n}z^{n}}, avec {a_{n}=\dfrac{1}{\ln(n)}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
La suite {(a_{n})_{n\ge2}} est bornée, donc {R\ge 1}.

La série {\displaystyle\sum a_{n}} est divergente, donc {R\le 1}.

Exercice 3.
On note {d_{n}} (resp. {\sigma_{n}}) le nombre de diviseurs positifs de {n} (resp. leur somme).
Déterminer les rayons de convergence {R_{d}} et {R_{\sigma}} de {\displaystyle\sum d_{n} z^{n}} et {\displaystyle\sum \sigma_{n} z^{n}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour tout {n\ge1}, on a {1\le d_{n}\le n\le\sigma(n)\le \dfrac{n(n+1)}{2}}.

Le rayon de {\displaystyle\sum z^{n}} vaut {1}, comme celui de {\displaystyle\sum \dfrac{n(n+1)}{2} z^{n}}.

Par comparaison, les deux séries {\displaystyle\sum d_{n} z^{n}} et {\displaystyle\sum \sigma_{n} z^{n}} sont de rayon {1}.