Ouverts et fermés dans un evn

Publié le 16/09/17

Exercice 1.
Soit {E} un espace vectoriel euclidien.
Montrer que {\Omega=\{(x,y)\in E^{2},(x,y)\text{ libre}\}} est un ouvert de {E\times E}.
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Exercice 2.
Soit {E} un espace vectoriel normé de dimension finie.
Montrer que l’ensemble {\mathcal{P}} des projecteurs de {E} est un fermé de {{\mathcal L}(E)}.
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Exercice 3.
Montrer que le groupe orthogonal {O(n)} est un fermé borné de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
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Exercice 4.
Soit {E} un espace vectoriel normé.
Montrer que les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont {\emptyset} et {E}.
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