Ouverts et fermés dans un evn

Exercice 1.
Soit {E} un espace vectoriel euclidien.
Montrer que {\Omega=\{(x,y)\in E^{2},(x,y)\text{ libre}\}} est un ouvert de {E\times E}.
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Soient {x} et {y} deux vecteurs quelconques de {E}.

Ils sont libres sont libres si et seulement si {\left|{\left({x}\mid{y}\right)}\right|\lt \left\|{x}\right\|\left\|{y}\right\|} (Cauchy-Schwarz).

Mais {\varphi} définie sur {E\times E} par {\varphi(x,y)=\left\|{x}\right\|\left\|{y}\right\|-\left|{\left({x}\mid{y}\right)}\right|} est continue.

Ainsi {\Omega=\{(x,y)\in E^{2},\;\varphi(x,y)>0\}} est une partie ouverte de {E\times E}.

Exercice 2.
Soit {E} un espace vectoriel normé de dimension finie.
Montrer que l’ensemble {\mathcal{P}} des projecteurs de {E} est un fermé de {{\mathcal L}(E)}.
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L’application {\varphi} définie sur {{\mathcal L}(E)} par {\varphi(f)=f^{2}-f} est continue.

Ensuite {\mathcal{P}} est l’image réciproque du singleton \{0\} : c’est donc un fermé de {{\mathcal L}(E)}.

Exercice 3.
Montrer que le groupe orthogonal {O(n)} est un fermé borné de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
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C’est une question de cours…

On utilise par exemple la norme usuelle définie par {\left\|{A}\right\|=\sqrt{\text{tr}({A}^{\top}A)\phantom{\big(}}}.

Les matrices orthogonales {\Omega} vérifient {{\Omega}^{\top}\Omega=I_{n}} donc {\left\|{\Omega}\right\|=\sqrt{n}}.

Le groupe orthogonal, inclus dans la sphère de centre {0} de rayon {\sqrt{n}}, est donc borné.

Enfin l’application {A\mapsto {A}^{\top}} est continue sur {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} (car linéaire en dimension finie).

Il en est donc de même de {\varphi:A\mapsto {A}^{\top}A} (continuité produit matriciel).

Mais {O(n)} est l’image réciproque du singleton {I_{n}} par {\varphi}, donc est un fermé de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.

Exercice 4.
Soit {E} un espace vectoriel normé.
Montrer que les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont {\emptyset} et {E}.
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Par l’absurde, soit {A\subset E}, ouverte et fermée, distincte de {\emptyset} et {E}.

Soit {a\in A}, et {b\notin A}.

Soit {\varphi\colon t\in[0,1]\to E} définie par {\varphi(t)=a+t(b-a)}.

Les points {\varphi(t)} décrivent bien sûr le segment {[a,b]}.

Soit {T=\{t\in [0,1],\;\varphi(t)\in A\}}.

On a {\varphi(0)=a\in A} donc {0\in T}, et {\varphi(1)=b\notin A} donc {1\notin T}.

Soit {\alpha=\displaystyle\sup(T)}. Par définition, il existe une suite {(t_{n})_{n\ge0}} de {T} telle que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}t_{n}=\alpha}.

Les {x_{n}=a+t_{n}(b-a)} forment donc une suite d’éléments de {A}.

De plus cette suite converge vers {c=a+\alpha(b-a)}.

L’ensemble A étant fermé, il en résulte que {c} est dans A.

Mais {A} est ouvert, donc il existe {r>0} tel que {B(c,r)\subset A}.

Considérons alors les {c+\lambda(b-a)=a+(\alpha+\lambda)(b-a)}, où {0\lt \lambda\lt \dfrac{r}{\left\|{b-a}\right\|}}.

Par construction, ces points sont encore dans {A}.

Mais c’est contradictoire avec le fait que {\alpha} est la borne supérieure de {T}.