Orthogonalité de M → AM

On munit {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} de son produit scalaire usuel : {\left({A}\mid{B}\right)=\text{tr}({A}^{\top}B)}.
Pour quelles matrices {M} l’application {A\mapsto AM} est-elle une isométrie?
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L’application {A\mapsto AM} est orthogonale si et seulement si :
{\forall\,(A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2,\;\left({AM}\mid{BM}\right)=\left({A}\mid{B}\right)}Ceette égalité équivaut à : {\text{tr}({(AM)}^{\top}(BM))=\text{tr}({A}^{\top}B)}ou encore à : {\text{tr}({M}^{\top}{A}^{\top}BM)=\text{tr}({A}^{\top} B)\quad(\star)}On rappelle que {\text{tr}(XY)=\text{tr}(YX)} pour toutes matrices {X,Y}.

L’égalité {(\star)} s’écrit donc :{\forall\,(A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2,\;\text{tr}({A}^{\top}BM{M}^{\top})=\text{tr}({A}^{\top}B)}Cela s’écrit {\left({A}\mid{BM{M}^{\top}}\right)=\left({A}\mid{B}\right)} pour tous {A,B}.

Cela équivaut donc à {BM{M}^{\top}=B} pour tout {B}.

Cela équivaut finalement à : {M{M}^{\top}=I_{n}}.

Les matrices {M} pour lesquelles l’application {A\mapsto AM} est un automorphisme orthogonal de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} sont donc les matrices orthogonales (les éléments de {O(n)}).