Normes matricielles

Exercice 1. (norme de Schur, ou de Frobenius)
On munit {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de la norme {\left\|{A}\right\|_{f}=\bigl(\text{tr}({A}^{\top}A)\bigr)^{1/2}}.
Montrer que pour toutes {A,B} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, on a : {\left\|{AB}\right\|_{f}\le\left\|{A}\right\|_{f}\left\|{B}\right\|_{f}}.
Montrer que ce résultat ne peut pas être amélioré de façon générale.
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Exercice 2. (“norme infini”)
On munit {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} de la norme {\left\|{A}\right\|_{\infty}=\displaystyle\max_{i,j}\left|{a_{i,j}}\right|}.
Montrer que: {\forall\, (A,B)\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;\left\|{AB}\right\|_{\infty}\le n\left\|{A}\right\|_{\infty}\left\|{B}\right\|_{\infty}}.
Montrer et que ce résultat n’est pas améliorable.
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Exercice 3. (“norme 1”)
On munit {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} de la norme {\left\|{A}\right\|_{1}=\displaystyle\sum_{i,j=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|}.

Montrer que : {\forall\, (A,B)\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;\left\|{AB}\right\|_{1}\le\left\|{A}\right\|_{1}\left\|{B}\right\|_{1}}.

Montrer que ce résultat n’est pas améliorable.

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Exercice 4. (normes “de ligne” et “de colonne”)
Pour toute matrice {A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, on pose : {N_{1}(A)=\displaystyle\max_{1\le j\le p}\biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|\biggr)\text{\ et \ }N_{\infty}(A)=\displaystyle\max_{1\le i\le n}\biggl(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|\biggr)}

  1. Montrer que {N_{1}} est une norme (dite “norme de colonne”).
  2. Montrer que : {\forall A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),\;\forall B\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}),\;N_{1}(AB)\le N_{1}(A)N_{1}(B)}.
  3. Montrer que {N_{\infty}} est une norme (dite “norme de ligne”).
  4. Montrer que : {\forall A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),\;\forall B\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}),\;N_{\infty}(AB)\le N_{\infty}(A)N_{\infty}(B)}.

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Exercice 5.
On munit {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} d’une norme quelconque {A\mapsto N(A)}.
Montrer que : {\exists\, k\gt 0,\;\forall\, (A,B)\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})^{2},\;N(AB)\le kN(A)N(B)}.
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