Normes matricielles

Exercice 1. (norme de Schur, ou de Frobenius)
On munit {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de la norme {\left\|{A}\right\|_{f}=\bigl(\text{tr}({A}^{\top}A)\bigr)^{1/2}}.
Montrer que pour toutes {A,B} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, on a : {\left\|{AB}\right\|_{f}\le\left\|{A}\right\|_{f}\left\|{B}\right\|_{f}}.
Montrer que ce résultat ne peut pas être amélioré de façon générale.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
C’est la norme associée au produit scalaire canonique : {\left({A}\mid{B}\right)=\text{tr}({A}^{\top}B)}.

Pour toute matrice {A=(a_{i,j})} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, on a :{\begin{array}{rl}\text{tr}({A}^{\top}A)&=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}[{A}^{\top}A]_{j,j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}[{A}^{\top}]_{j,i}[A]_{i,j}\\\\&=\displaystyle\sum_{i,j=1}^{n}a_{i,j}^{2}\end{array}}Soit {A=(a_{i,j}),B=(b_{j,k})} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et {C=AB=(c_{i,k})}.

Pour tous indices {i,k}, on a : {c_{i,k}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}b_{j,k}}.

Avec Cauchy-Schwarz, on trouve: {c_{i,k}^{2}\le \displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}^{2}\displaystyle\sum_{\ell=1}^{n}b_{\ell,k}^{2}}.

On en déduit : {\begin{array}{rl}\left\|{C}\right\|_{f}^{2}&=\displaystyle\sum_{i,k=1}^{n}c_{i,k}^{2}\le\displaystyle\sum_{i,k=1}^{n}\biggl(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}^{2}\displaystyle\sum_{\ell=1}^{n}b_{\ell,k}^{2}\biggr)\\\\&\le \displaystyle\sum_{i,j=1}^{n}a_{i,j}^{2}\displaystyle\sum_{j,k=1}^{n}b_{\ell,k}^{2}\end{array}}c’est-à-dire {\left\|{C}\right\|_{f}^{2}\le \left\|{A}\right\|_{f}^{2}\left\|{B}\right\|_{f}^{2}}.

Ce résultat ne peut pas être amélioré de façon générale.

En effet, soit {J} la matrice dont tous les coefficients sont égaux à {1}.

Si {A=B=J}, on a {\left\|{A}\right\|_{f}=\left\|{B}\right\|_{f}=n} et {AB=nA}.

Dans ce cac {\left\|{AB}\right\|_{f}=n^{2}=\left\|{A}\right\|_{f}\left\|{B}\right\|_{f}}.

Exercice 2. (“norme infini”)
On munit {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} de la norme {\left\|{A}\right\|_{\infty}=\displaystyle\max_{i,j}\left|{a_{i,j}}\right|}.
Montrer que: {\forall\, (A,B)\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;\left\|{AB}\right\|_{\infty}\le n\left\|{A}\right\|_{\infty}\left\|{B}\right\|_{\infty}}.
Montrer et que ce résultat n’est pas améliorable.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Soit {A=(a_{i,j}),B=(b_{j,k})} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, et {C=AB=(c_{i,k})}.

Pour tous indices {i,k}, on a {c_{i,k}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}b_{j,k}}.

Il en résulte {\left|{c_{i,k}}\right|\le \displaystyle\sum_{j=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|\left|{b_{j,k}}\right|\le n\left\|{A}\right\|_{\infty}\left\|{B}\right\|_{\infty}}.

On en déduit bien sûr: {\left\|{AB}\right\|_{\infty}=\displaystyle\max_{i,k}\left|{c_{i,k}}\right|\le n\left\|{A}\right\|_{\infty}\left\|{B}\right\|_{\infty}}.

Ce résultat ne peut pas être amélioré de façon générale.

En effet, soit {J} la matrice de coefficients tous égaux à {1}.

Si {A=B=J}, on a {\left\|{A}\right\|_{\infty}=\left\|{B}\right\|_{\infty}=1}, mais {AB=nA} donc {\left\|{AB}\right\|_{\infty}=n}.

Exercice 3. (“norme 1”)
On munit {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} de la norme {\left\|{A}\right\|_{1}=\displaystyle\sum_{i,j=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|}.

Montrer que : {\forall\, (A,B)\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;\left\|{AB}\right\|_{1}\le\left\|{A}\right\|_{1}\left\|{B}\right\|_{1}}.

Montrer que ce résultat n’est pas améliorable.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Soit {A=(a_{i,j}), B=(b_{j,k})} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, et {C=AB=(c_{i,k})}.

On a, pour tout k dans [\![ 1,n]\!], on a : {\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{c_{i,k}}\right|&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\Big|\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}b_{j,k}\Bigr|\\\\&\le \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|\,\left|{b_{j,k}}\right|\end{array}}Ainsi {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{c_{i,k}}\right|\le\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|\,\left|{b_{j,k}}\right|} (échange des sommes)

On en déduit alors : {\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{c_{i,k}}\right|&\le \displaystyle\sum_{j=1}^{n}\Bigl(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|\Bigr)\,\left|{b_{j,k}}\right|\\\\&\le \left\|{A}\right\|_{1}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\left|{b_{j,k}}\right|\le \left\|{A}\right\|_{1}\left\|{B}\right\|_{1}\end{array}}donc {\left\|{AB}\right\|_{1}\le \left\|{A}\right\|_{1}\left\|{B}\right\|_{1}}.

Ce résultat ne peut pas être amélioré de façon générale.

En effet, soit {J} la matrice dont tous les coefficients sont égaux à {1}.

Si {A=B=J}, on a : {\left\|{A}\right\|_{1}=\left\|{B}\right\|_{1}=n} et {AB=nA}.

Dans ce cas particulier, on a donc : {\left\|{AB}\right\|_{1}=\left\|{A}\right\|_{1}\left\|{B}\right\|_{1}}.

Exercice 4. (normes “de ligne” et “de colonne”)
Pour toute matrice {A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, on pose : {N_{1}(A)=\displaystyle\max_{1\le j\le p}\biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|\biggr)\text{\ et \ }N_{\infty}(A)=\displaystyle\max_{1\le i\le n}\biggl(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|\biggr)}

  1. Montrer que {N_{1}} est une norme (dite “norme de colonne”).
  2. Montrer que : {\forall A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),\;\forall B\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}),\;N_{1}(AB)\le N_{1}(A)N_{1}(B)}.
  3. Montrer que {N_{\infty}} est une norme (dite “norme de ligne”).
  4. Montrer que : {\forall A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),\;\forall B\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}),\;N_{\infty}(AB)\le N_{\infty}(A)N_{\infty}(B)}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

  1. Les propriétés suivantes sont assez évidentes : {\begin{array}{l}N_{1}(A)\ge0,\;N_{1}(A)=0\Leftrightarrow A=0\\\\ N_{1}(\lambda A)=\left|{\lambda}\right|N_{1}(A)\end{array}}Soit {A=(a_{i,j}), B=(b_{i,j})\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, et {C=A+B=(c_{i,j})}.

    Pour tout {j\in[\![ 1,p]\!]}, on a : {\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{c_{i,j}}\right|&\le \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|+\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{b_{i,j}}\right|\\\\&\le N_{1}(A)+N_{1}(B)\end{array}}Comme c’est vrai pour tout {j\in[\![ 1,q]\!]}, on a bien : {N_{1}(C)\le N_{1}(A)+N_{1}(B)}.

  2. Soit {A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, et {B=(b_{j,k})\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})}.

    La matrice {C=AB} est donc dans {\mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})}.

    Pour tout indice {k\in[\![ 1,q]\!]}, on a : {\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{c_{i,k}}\right|&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\biggl|\displaystyle\sum_{j=1}^{p}a_{i,j}b_{j,k}\biggr|\\\\&\le \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{p}\left|{a_{i,j}}\right|\left|{b_{j,k}}\right|\le\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|\displaystyle\sum_{\ell=1}^{p}\left|{b_{\ell,k}}\right|\end{array}}

    On majore {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|} par {N_{1}(A)}.

    On majore également {\displaystyle\sum_{\ell=1}^{p}\left|{b_{\ell,k}}\right|} par {N_{1}(B)}.

    On obtient alors : {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{c_{i,k}}\right|\le N_{1}(A)N_{1}(B)}.

    Comme c’est vrai pour tout {k\in[\![ 1,q]\!]}, on a bien {N_{1}(AB)\le N_{1}(A)N_{1}(B)}.

  3. Il est clair que {N_{\infty}(A)=N_{1}({A}^{\top})}.

    Dès lors, il est évident que {N_{\infty}} est une norme sur {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.

  4. Il suffit d’écrire : {\begin{array}{rl}N_{\infty}(AB)&=N_{1}({(AB)}^{\top})=N_{1}({B}^{\top}{A}^{\top})\\\\&\le N_{1}({B}^{\top})N_{1}({A}^{\top})=N_{\infty}(B)N_{\infty}(A)\end{array}}

Exercice 5.
On munit {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} d’une norme quelconque {A\mapsto N(A)}.
Montrer que : {\exists\, k\gt 0,\;\forall\, (A,B)\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})^{2},\;N(AB)\le kN(A)N(B)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Il existe de nombreuses normes “usuelles” sur {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.

On peut notamment utiliser la norme : {\left\|{A}\right\|_{1}=\displaystyle\sum_{i,j=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|}.

On sait (voir exercice 3) que pour cette norme : {\forall\, (A,B)\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;\left\|{AB}\right\|_{1}\le\left\|{A}\right\|_{1}\left\|{B}\right\|_{1}}On sait également que toutes les normes sur {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} sont équivalentes.

Il existe donc {\alpha,\beta} dans {\mathbb{R}^{+*}} tels que : {\forall\, A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;\alpha\left\|{A}\right\|_{1}\le N(A)\le \beta\left\|{A}\right\|_{1}}On en déduit, pour A,B quelconques dans \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) : {\begin{array}{rl}N(AB)&\le \beta\left\|{AB}\right\|_{1}\le \beta\left\|{A}\right\|_{1}\left\|{B}\right\|_{1}\\\\&\le \dfrac{\beta}{\alpha^{2}}N(A)N(B)\end{array}}