Matrices symétriques réelles

Publié le 14/09/17

Exercice 1.
Soit {p\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^4)} de matrice {M=\dfrac{1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0&-1&0\cr 0&1&0&-1\cr-1&0&1&0\cr0&-1&0&1\end{pmatrix}} dans la base canonique.
Montrer que {p} est un projecteur orthogonal.
Donner une base orthonormale de {\text{Im}(p)} et de {\text{Ker}(p)}.
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Exercice 2.
Diagonaliser {A=}{\begin{pmatrix}3&2&2\cr 2&2&0\cr 2&0&4\end{pmatrix}} dans le groupe orthogonal. Calculer {A^{n}} pour {n\in\mathbb{N}}.
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Exercice 3.
Montrer que la matrice {A=}{\begin{pmatrix}1-i & -2 & -3 & 4 \cr -2 & 2-i & 18 & 2 \cr -3 & 18 & 1-i & 1 \cr 4 & 2 & 1 & 3-i\end{pmatrix}} est inversible.
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Exercice 4.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, symétrique, telle que {A^{m}=I}, avec {m\ge1}.
Montrer que {A^2=I}.
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Exercice 5.
Soit {A=(a_{ij})}, symétrique réelle d’ordre {n}, de valeurs propres {(\lambda_k)_{1\le k\le n}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2=\sum_{k=1}^n\lambda_k^2}.
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