Orthogonales et triangulaires à la fois

Montrer que dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, les seules matrices à la fois orthogonales et triangulaires sont les matrices diagonales dont les coefficients diagonaux valent {1} ou {-1}.
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On procède par récurrence sur {n}.

La propriété est évidente si {n=1}. On la suppose vraie au rang {n\ge1}.

Soit {A\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})}, à la fois orthogonale et triangulaire supérieure.

On écrit: {A=\begin{pmatrix}B&C\\0&\alpha\end{pmatrix}}, avec {\begin{cases}B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\text{\ (triangulaire supérieure)}\\C\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),\;\alpha\in\mathbb{R}\end{cases}}

On effectue le produit par blocs : {\begin{array}{rl}{A}^{\top}A&=\begin{pmatrix}{B}^{\top}&0\\{C}^{\top}&\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B&C\\0&\alpha\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}{B}^{\top}B&{B}^{\top}C\\{C}^{\top}B &{C}^{\top}C+\alpha^{2} \end{pmatrix}\end{array}} mais par hypothèse {{A}^{\top}A=\begin{pmatrix}I_{n}&0\\0&1\end{pmatrix}}.

On en déduit que {{B}^{\top}B=I_{n}}.

Ainsi {B} est orthogonale (en même temps que triangulaire supérieure).

Par hypothèse de récurrence, {B} est diagonale de coefficients diagonaux {\pm1}.

Par identification on a aussi {{B}^{\top}C=0} donc {C=0}.

On a également {\alpha^{2}=1} donc {\alpha=\pm1}.

Cela prouve la propriété au rang {n+1} et achève la récurrence (réciproque évidente).