Intérieur et adhérence dans un evn

Exercice 1.
Soit {E} un espace vectoriel normé.
Montrer que tout fermé {X} de {E} peut s’écrire comme l’intersection d’une suite décroissante d’ouverts {\Omega_{n}}.
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Soit X un fermé de l’espace vectoriel normé E.

Soit {\Omega_{n}=\Big\{y\in E,\;\exists\, x\in X,\;d(x,y)\lt \dfrac{1}{n}\Big\}}.

En d’autres termes, {\Omega_{n}=\displaystyle\bigcup_{x\in X}B\Big(x,\dfrac{1}{n}\Big)}.

De façon évidente, chaque {\Omega_{n}} contient {X}.

L’ensemble {\Omega_{n}} est un ouvert (car c’est une réunion d’ouverts).

Soit {a} dans l’intersection {\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}^{*}}\Omega_{n}}.

Pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}}, il existe {x_{n}\in X} tel que {\left\|{a-x_{n}}\right\|\lt \dfrac{1}{n}}.

La suite {(x_{n})_{n\ge1}} est donc convergente vers {a}.

Mais c’est aussi une suite du fermé {X}, donc {x=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}x_{n}\in X}.

On a ainsi prouvé {\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}^{*}}\Omega_{n}\subset X} (l’inclusion inverse est évidente).

Exercice 2.
Soit {X} une partie de l’espace vectoriel normé {E}.
On note {\text{int}(X)} l’ensemble des points intérieurs à X.
Montrer que {\text{int}(X)} est le plus grand ouvert inclus dans {X}.
Montrer que {\text{int}(X)=X} si et seulement si {X} est ouvert.
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  • Les points intérieurs à {X} sont déjà dans {X}, donc {\text{int}(X)\subset X}.
  • Soit {a\in\text{int}(X)}, et soit {r>0} tel que {B(a,r)\subset X}.

    On sait que {B(a,r)} est un ouvert.

    Tout élément de {B(a,r)} est donc intérieur à {B(a,r)}, donc intérieur à {X}.

    En particulier {B(a,r)\subset\text{int}(X)}, et on a prouvé que {\text{int}(X)} est un ensemble ouvert

  • Soit {Y} un ouvert inclus dans {X}.

    Tout {a} de {Y} est intérieur à {Y}, donc à {X}, donc est dans {\text{int}(X)}. Ainsi {Y\subset \text{int}(X)}.

  • Ainsi {\text{int}(X)} est un ouvert inclus dans {X}, et qui contient tous les ouverts inclus dans {X} (il est donc le plus grand d’entre eux, au sens de l’inclusion).

    En particulier, on a {\text{int}(X)=X} si et seulement si {X} est lui-même ouvert.

Exercice 3.
Soit {X} une partie de l’espace vectoriel normé {E}.
On note {\text{adh}(X)} l’ensemble des points adérents à X.
L’ensemble \text{adh}(X) est le plus petit fermé contenant {X}.
Montrer que {\text{adh}(X)=X} si et seulement si {X} est fermé.
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  • On note ici {X^{c}} le complémentaire de {X}.

    On va montrer que le complémentaire de {\text{adh}(X)} est l’intérieur de {X^{c}}.

    Soit {a} dans {E}. On a les équivalences suivantes :

    {a} est dans le complémentaire de {\text{adh}(X)}
    {\quad\Leftrightarrow a} n’est pas adhérent à {X}
    {\quad\Leftrightarrow} il existe {r>0} tel que {X\cap B(a,r)} soit vide
    {\quad\Leftrightarrow} il existe {r>0} tel que {B(a,r)} soit inclus dans {X^{c}}
    {\quad\Leftrightarrow a} est intérieur à {X^{c}}.

  • Ainsi {\text{adh}(X)} est le plus petit fermé contenant {X} (car son complémentaire est le plus grand ouvert inclus dans le complémentaire de {X}).

    En particulier, on a {\text{adh}(X)=X} si et seulement si {X} est lui-même fermé.

Exercice 4.
Soit {E,F} deux espaces vectoriels normées de dimension finie.
Soit {f\colon E\rightarrow F} une application continue.

  1. Montrer que l’image réciproque par {f} d’un ouvert de {F} est un ouvert de {E}.
  2. Montrer que l’image réciproque par {f} d’un fermé de {F} est un fermé de {E}.

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  1. Soit {Y} un ouvert de {F}. Soit {a} dans {f^{-1}(Y)}.

    Alors {f(a)} est dans {Y}.

    En particulier : {\exists\,\varepsilon>0,\;B(f(a),\varepsilon)\subset Y}.

    Par continuité de {f} sur {E} (donc en {a}) : {\exists\,\delta>0,\;f(B(a,\delta))\subset B(f(a),\varepsilon)\subset Y}On a donc l’inclusion {B(a,\delta)\subset f^{-1}(Y)}.

    Cela prouve que {f^{-1}(Y)} est un ensemble ouvert de {E}.

  2. Soit {Y} un fermé de {F}.

    Le complémentaire {Y^{c}} de {Y} est donc un ouvert de {F}.

    Il en résulte que {f^{-1}(Y^{c})} est un ouvert de {E}.

    Mais {f^{-1}(Y^{c})} est le complémentaire de {f^{-1}(Y)} dans {E}.

    Conclusion: {f^{-1}(Y)} est un fermé de {E}.

    On pouvait ici utiliser une preuve directe :

    Soit {(x_{n})_{n\ge0}} une suite de {f^{-1}(Y)}, convergente vers {a}.

    Par continuité de {f}, la suite {(y_{n}=f(x_{n}))_{n\ge0}} converge vers {f(a)}.

    Mais les {y_{n}} sont dans {Y}, qui est fermé.

    Il en résulte que {f(a)} est dans {Y}.

    Ainsi {a\in f^{-1}(Y)}, ce qui prouve que {f^{-1}(Y)} est un fermé de {E}.