Exercices sur le produit vectoriel

Exercice 1.
Soient {u,v,w} trois vecteurs quelconque de {E_{3}} euclidien orienté.
Montrer l’égalité suivante, dite “formule du double produit vectoriel” : {u\wedge(v\wedge w)=\left({u}\mid{w}\right)v-\left({u}\mid{v}\right)w}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
On se place dans une base orthonormale (directe) {(e_{1},e_{2},e_{3})}, telle que {u} soit lié à {e_{1}} (donc {u=a e_{1}}) et telle que {v} soit dans le plan engendré par {e_{1}} et {e_{2}} (donc {v=be_{1}+ce_{2}}).
Posons {w=\alpha e_{1}+\beta e_{2}+\gamma e_{3}}.

Ainsi {v\wedge w=\begin{pmatrix}b\cr c\cr 0\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}\alpha\cr \beta\cr \gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c\gamma\cr -b\gamma\cr b\beta-c\alpha\end{pmatrix}} et il en résulte : {u\wedge(v\wedge w)=\begin{pmatrix}a\cr 0\cr 0\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}c\gamma\cr -b\gamma\cr b\beta-c\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cr a(c\alpha-b\beta)\cr -ab\gamma\end{pmatrix}}D’autre part : {\;\left({u}\mid{w}\right)v-\left({u}\mid{v}\right)w=a\alpha\begin{pmatrix}b\cr c\cr 0\end{pmatrix}-ab\begin{pmatrix}\alpha\cr \beta\cr \gamma\end{pmatrix}}.

On a donc bien l’égalité demandée.

Exercice 2.
Soient {u,v,w} dans {E_{3}} euclidien orienté.
Montrer que {[\,u\wedge v,v\wedge w,w\wedge u\,]=[\,u,v,w\,]^2}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Posons {z=(v\wedge w)\wedge(w\wedge u)}.

On a alors : {[\,u\wedge v,v\wedge w,w\wedge u\,]=\left({(u\wedge v)}\mid{z}\right)}.

La formule du double produit vectoriel (voir exercice précédent) donne :
{\begin{array}{rl}z&=\left({u}\mid{(v\wedge w)}\right)w-\left({w}\mid{(v\wedge w)}\right)u\\\\&=\left({u}\mid{(v\wedge w)}\right)w\end{array}}(on a ici utilisé {\left({w}\mid{(v\wedge w)}\right)=0})

Autrement dit, on constate que {z=[\,u,v,w\,]\,w}. Il en découle : {\begin{array}{rl}[\,u\wedge v,v\wedge w,w\wedge u\,]&=[\,u,v,w\,]\,\left({(u\wedge v)}\mid{w}\right)\\\\&=[\,u,v,w\,]^2\end{array}}

Exercice 3.
On se place dans un espace euclidien orienté {E} de dimension {3}.
Soit {a,b} dans {E}, avec {a\ne0}. Déterminer les {u\in E} tels que {a\wedge u=b}.
C’est le “problème de la division vectorielle”.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
On sait que, pour tout vecteur {u\in E_{3}}, le vecteur {a\wedge u} est orthogonal à {a}.

Ainsi l’équation {a\wedge u=b} ne possède aucune solution {u} quand {\left({a}\mid{b}\right)\ne0}.

On suppose donc {\left({a}\mid{b}\right)=0}.

Posons {u_0=\dfrac1{\left\|{a}\right\|^2}\;b\wedge a}. On a : {\begin{array}{rl}a\wedge u_{0}&=\dfrac1{\left\|{a}\right\|^2}(a\wedge (b\wedge a))\\\\&=\dfrac1{\left\|{a}\right\|^2}\Bigl(\left({a}\mid{a}\right)b-\left({a}\mid{b}\right)a\Bigr)=b\end{array}}Le vecteur {u_{0}} est donc une solution particulière du problème.

Dans ces conditions, on a les équivalences: {\begin{array}{rl}a\wedge u&=b\Leftrightarrow a\wedge u=a\wedge u_{0}\\\\&\Leftrightarrow a\wedge(u-u_{0})=0\\\\&\Leftrightarrow(\exists\,\lambda\in\mathbb{R},\;u-u_{0}=\lambda a)\end{array}}La solution générale de {a\wedge u=b} est donc : {u=u_{0}+\lambda a,\;\lambda\in\mathbb{R}}.

On illustre ci-dessous le problème de la division vectorielle. On voit deux vecteurs {a} et {b} qui sont orthogonaux, et on cherche les vecteurs {u} tels que {a\wedge u=b}. Les solutions {u} sont nécessairement orthogonales à {b}. Le vecteur {u_0} est la seule solution qui soit orthogonale à {a}. Les autres solutions forment la “droite affine” {\mathcal{D}} passant par {u_0} et dirigée par {a}.
divivect

Exercice 4.
Soit {a\ne0} dans {E_{3}} euclidien orienté, et {f\colon x\mapsto x + a\wedge x}.

  1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de {f}.
  2. Déterminer un polynôme annulateur de {f} (considérer {g\colon x\mapsto a\wedge x}).

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

  1. Soit {x} un vecteur propre éventuel de {f}, pour une valeur propre {\lambda}.

    Ainsi {a\wedge x=(\lambda -1)x} donc {0=(\lambda-1)\left\|{x}\right\|^{2}} (produit scalaire par {x}).

    On en déduit que nécessairement {\lambda=1}.

    Réciproquement: {f(x)=x\Leftrightarrow a\wedge x=0\Leftrightarrow x\in\mathbb{R} a}.

    Ainsi {\text{Sp}(f)=\{1\}}, et {E_{1}=\mathbb{R} a}.

  2. On trouve {g^{2}(x)=a\wedge(a\wedge x)=\left({a}\mid{x}\right)a-\left\|{a}\right\|^{2}x}.

    Ensuite {g^{3}(x)=a\wedge g^{2}(x)=-\left\|{a}\right\|^{2}a\wedge x=-\left\|{a}\right\|^{2}g(x)}.

    Ainsi {g^{3}+\left\|{a}\right\|^{2}g=0}, c’est-à-dire: {(f-\text{Id})^{3}+\left\|{a}\right\|^{2}(f-\text{Id})=0}.

    L’application {f} est donc annulée par : {\begin{array}{rl}A&=(X-1)^{3}+\left\|{a}\right\|^{2}(X-1)\\\\&=(X-1)((X-1)^{2}+\left\|{a}\right\|^{2}\end{array}}