Distances dans un evn

Publié le 20/09/17

Exercice 1.
On munit {\mathbb{R}^{n}} de sa structure euclidienne canonique.
Soit {a,b} distincts dans {\mathbb{R}^{n}}, et {c=\dfrac{1}{2}(a+b)}.
On suppose que {d(x,a)=d(x,b)}. Montrer que {d(x,c)\lt d(x,a)}.
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Exercice 2.
Soit {E} un espace vectoriel normé de dimension finie, et soit A\subset E, {A\ne\emptyset}.

  1. Pour tout {x} de {E}, on note {d_{A}(x)=\displaystyle\inf_{x\in A}d(x,a)}.
    Montrer que la fonction {d_{A}\,\colon x\mapsto d(x,A)} est continue.
  2. On suppose que {A} est fermé borné.
    Montrer: {\forall\, x\in E,\;\exists\, a\in A,\;d_{A}(x)=\left\|{x-a}\right\|}.
  3. Montrer que le résultat précédent reste vrai si on suppose seulement {A} fermé.
  4. On suppose que la norme sur E se déduit d’un produit scalaire.
    On suppose également que {A} est fermé convexe.
    Montrer que : {\forall\,x\in E,\;\exists!\,a\in A,\;d_{A}(x)=\left\|{x-a}\right\|}. On le not {\pi_{A}(x)}.

  5. Avec les hypothèses de 4), préciser {\pi_{A}(x)} dans les deux cas suivants:
    — L’ensemble {A} est un sous-espace vectoriel de {E}.
    — L’ensemble {A} est une boule fermée de {E}.

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