Distances dans un evn

Exercice 1.
On munit {\mathbb{R}^{n}} de sa structure euclidienne canonique.
Soit {a,b} distincts dans {\mathbb{R}^{n}}, et {c=\dfrac{1}{2}(a+b)}.
On suppose que {d(x,a)=d(x,b)}. Montrer que {d(x,c)\lt d(x,a)}.
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Posons {\delta=\left\|{x-a}\right\|=\left\|{x-b}\right\|}.

On a les égalités suivantes : {\begin{array}{rl}\left\|{x-c}\right\|^{2}&=\biggl\|\dfrac{1}{2}(x-a)+\dfrac{1}{2}(x-b)\biggr\|^{2}\\\\&=\dfrac{\delta^{2}}{4}+\dfrac{\delta^{2}}{4}+\dfrac{1}{2}\left({x-a}\mid{x-b}\right)\\\\&=\dfrac{\delta^{2}}{2}+\dfrac{1}{2}\left({x-a}\mid{x-b}\right)\end{array}}On sait que {\left({x-a}\mid{x-b}\right)\le \left\|{x-a}\right\|\,\left\|{x-b}\right\|}.

Autrement dit : {\left({x-a}\mid{x-b}\right)\le \delta^{2}} (Cauchy-Schwarz).

Ainsi {\left\|{x-c}\right\|^{2}\le \delta^{2}}, c’est-à-dire {\left\|{x-c}\right\|\le \delta}.

Il ne peut y avoir égalité que si les deux vecteurs {x-a} et {x-b} (dont on rappelle qu’ils ont même norme) sont colinéaires de même sens c’est-à-dire sont égaux, ce qui est exclu ici.

Exercice 2.
Soit {E} un espace vectoriel normé de dimension finie, et soit A\subset E, {A\ne\emptyset}.

  1. Pour tout {x} de {E}, on note {d_{A}(x)=\displaystyle\inf_{x\in A}d(x,a)}.
    Montrer que la fonction {d_{A}\,\colon x\mapsto d(x,A)} est continue.
  2. On suppose que {A} est fermé borné.
    Montrer: {\forall\, x\in E,\;\exists\, a\in A,\;d_{A}(x)=\left\|{x-a}\right\|}.
  3. Montrer que le résultat précédent reste vrai si on suppose seulement {A} fermé.
  4. On suppose que la norme sur E se déduit d’un produit scalaire.
    On suppose également que {A} est fermé convexe.
    Montrer que : {\forall\,x\in E,\;\exists!\,a\in A,\;d_{A}(x)=\left\|{x-a}\right\|}. On le not {\pi_{A}(x)}.

  5. Avec les hypothèses de 4), préciser {\pi_{A}(x)} dans les deux cas suivants:
    — L’ensemble {A} est un sous-espace vectoriel de {E}.
    — L’ensemble {A} est une boule fermée de {E}.

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  1. Soit {x} et {y} dans {E}, et soit {\varepsilon>0}.

    Il existe {a} dans {A} tels que {\left\|{x-a}\right\|\le d_{A}(x)+\varepsilon}.

    On a alors les inégalités : {\begin{array}{rl}\left\|{y-a}\right\|&\le \left\|{y-x}\right\|+\left\|{x-a}\right\|\\\\&\le \left\|{y-x}\right\|+d_{A}(x)+\varepsilon\end{array}}Par passage à la borne inférieure : {d_{A}(y)\le\left\|{y-x}\right\|+d_{A}(x)+\varepsilon}Il en résulte : {d_{A}(y)-d_{A}(x)\le \left\|{y-x}\right\|+\varepsilon}.

    Par symétrie, on a : {\left|{d_{A}(y)-d_{A}(x)}\right|\le \left\|{y-x}\right\|+\varepsilon}.

    Ainsi {\left|{d_{A}(y)-d_{A}(x)}\right|\le \left\|{y-x}\right\|} quand {\varepsilon\rightarrow 0}.

    Ainsi l’application {d_{A}} est {1}-lipschitzienne sur {E}, donc continue.

  2. Cela résulte de la continuité de {d_{A}} et du caractère fermé borné de {A}.

  3. Soit {x\in E}, et soit {\delta=d_{A}(x)+1}. Il existe {a_{0}\in A} tel que {d(x,a_{0})\le \delta}.

    Quand on calcule la borne inférieure des distances {d(x,a)} (où {a} parcourt {A}), on peut donc se limiter aux {x} de {A} qui vérifient {d(x,a)\le \delta}, c’est-à-dire se limiter à l’ensemble fermé borné {A'=A\cap\overline{B}(x,\delta)}.

    Avec ces notations, on a donc {d(x,A)=d(x,B)}.

    Et puisque {B} est fermé borné (inclus dans {A}), on est ramené à la question précédente.

  4. On suppose : {\exists (a,b)\in A^2,\;\left\|{x-a}\right\|=\left\|{x-b}\right\|=d_{A}(x)} (quantité nommée ici {\delta}).

    Soit {c=\dfrac{a+b}{2}}, qui est encore dans le convexe {A}. On a donc {d(x,c)\ge \delta}.

    On a les égalités suivantes : {\begin{array}{rl}\left\|{x-c}\right\|^{2}&=\biggl\|\dfrac{1}{2}(x-a)+\dfrac{1}{2}(x-b)\biggr\|^{2}\\\\&=\dfrac{\delta^{2}}{4}+\dfrac{\delta^{2}}{4}+\dfrac{1}{2}\left({x-a}\mid{x-b}\right)\\\\&=\dfrac{\delta^{2}}{2}+\dfrac{1}{2}\left({x-a}\mid{x-b}\right)\end{array}}On sait que {\left({x-a}\mid{x-b}\right)\le \left\|{x-a}\right\|\,\left\|{x-b}\right\|}.

    Autrement dit : {\left({x-a}\mid{x-b}\right)\le \delta^{2}} (Cauchy-Schwarz).

    Ainsi {\left\|{x-c}\right\|\le \delta}, et finalement {\left\|{x-c}\right\|\le \delta}.

    On a donc l’égalité dans Cauchy-Schwarz, qui implique ici que {x-a} et {x-b} (dont on rappelle qu’ils ont même norme) sont colinéaires de même sens, donc sont égaux.

    Ainsi {a=b}, ce qui prouve l’unicité.

  5. Si {A} est un sous-espace de {E}, alors {\pi_{A}(x)} est la projection orthogonale de {x} sur {A}.

    On suppose maintenant que {A} est la boule fermée {\overline{B}(a_{0},r)}, avec {r>0}.

    Pour tout {x} de {A}, on a bien sûr {\pi_{A}(x)=x}.

    On suppose donc {\left\|{x-a_{0}}\right\|>r}.

    On a alors {\pi_{A}(x)=a_{0}+\dfrac{r}{\left\|{x-a_{0}}\right\|}(x-a_{0})}.

    De plus {d_{A}(x)=\left\|{x-a_{0}}\right\|-r} (faire un dessin).