Distance à un sous-espace

Publié le 07/09/17

Dans {E} euclidien de dimension {n\ge1}, soit {\mathcal{B}=(e_{k})_{1\le k\le n}} une base orthonormale.
Pour toutes familles {\mathcal{U}=(u_{i})_{1\le i\le p}}, et {\mathcal{V}=(v_{j})_{1\le j\le q}} de vecteurs de {E} :

  • on note {U} la matrice de la famille {\mathcal{U}} dans la base {\mathcal{B}}.
  • on note {G(\mathcal{U},\mathcal{V})\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})}, de terme général {g_{i,j}=\left({u_{i}}\mid{v_{j}}\right)}.
  • on note {G(\mathcal{U})=G(\mathcal{U},\mathcal{U})}, et on pose {\Delta(\mathcal{U})=\det(G(\mathcal{U}))}.
  1. Montrer que {G(\mathcal{U},\mathcal{V})={U}^{\top}V} et {\text{rg}(G(\mathcal{U}))=\text{rg}(\mathcal{U})}.
  2. On suppose que {\mathcal{U}} est libre, de cardinal m et engendre {F\subset E}.
    Pour tout {x\in E}, soit {\mathcal{U}_{x}} la famille obtenue en complétant {\mathcal{U}} par {x}.
    Comme ci-dessus, on définit {G(\mathcal{U}_{x})\in\mathcal{M}_{m+1}(\mathbb{R})}, de déterminant {\Delta(\mathcal{U}_{x})}.
    Montrer que la distance de {x} à {F} vérifie : {d(x,F)^{2}=\dfrac{\Delta(\mathcal{U}_{x})}{\Delta(\mathcal{U})}}.

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