Boules ouvertes, boules fermées

Exercice 1.
Soit {E} un espace vectoriel normé. Soit {a,b} dans {E} et {r,s} dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Montrer que {B(a,r)+B(b,s)=B(a+b,r+s)}.
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  • Soit {z} dans {B(a,r)+B(b,s)}.

    Il existe donc {x\in B(a,r)} et {y\in B(b,s)} tel que {z=x+y}.

    Dans ces conditions, on a les égalités : {\left\|{z-(a+b)}\right\|\le \left\|{x-a}\right\|+\left\|{y-b}\right\|\lt r+s}donc {x+y\in B(a+b,r+s)}.

  • Réciproquement, on se donne {z} dans {B(a+b,r+s)}.

    Le vecteur {z} s’écrit {z=a+b+w}, avec {\left\|{w}\right\|\lt r+s}.

    Ainsi z=x+y , avec x=a+\dfrac{r}{r+s}w et y=b+\dfrac{s}{r+s}w.

    On voit que {\left\|{\dfrac{r}{r+s}\,w}\right\|\lt r} et {\left\|{\dfrac{s}{r+s}\,w}\right\|\lt s}.

    Ainsi {z=x+y}, avec {x\in B(a,r)} et {y\in B(b,s)}.

Exercice 2.
Soit {x\mapsto N(x)} et {x\mapsto N'(x)} deux normes sur un espace vectoriel {E}.
On suppose {B(0,1)\subset B'(0,1)}. Montrer : {\forall\, x\in E,\;N'(x)\le N(x)}.
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On se donne un vecteur {x\ne0} dans {E} (le cas du vecteur nul est évident).

On a les implications suivantes : {\begin{array}{rl}0\le \lambda\lt \dfrac{1}{N(x)}&\Rightarrow N(\lambda x)=\lambda N(x)\lt 1\\\\&\Rightarrow \lambda x\in B(0,1)\Rightarrow\lambda x\in B'(0,1)\Rightarrow N'(\lambda x)\lt 1\end{array}}Ainsi {\lambda N'(x)\lt 1}, c’est-à-dire {N'(x)\lt \dfrac{1}{\lambda}}.

Il en résulte {N'(x)\le N(x)} quand {\lambda\to \dfrac{1}{N(x)}}.

Exercice 3.
Soit {E} un espace vectoriel normé, et soit {F} un sous-espace de {E}.
On suppose que {F} contient une boule ouverte de rayon R\gt 0. Montrer {F=E}.
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Par hypothèse, il existe {a\in F} et {r>0} tels que {B(a,r)\subset F}.

Soit {x\ne a} quelconque dans {E}, et soit {0\lt \lambda\lt \dfrac{r}{\left\|{x-a}\right\|}}.

Le vecteur {y=a+\lambda(x-a)} est dans {B(a,r)} donc dans {F}.

Il en est donc de même de {x=a+\dfrac{1}{\lambda}(y-a)}. Ainsi {F=E}.

Exercice 4.
Soit {E} un espace vectoriel normé.Montrer que toute boule (ouverte ou fermée) de rayon {r>0} est une partie bornée de diamètre {2r}.
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Soit {X=B(a,r)} (ou {X=\overline{B}(a,r)}) la boule ouverte (ou fermée) de centre {a} de rayon {r}.

Pour tout {x\in X}, on a {\left\|{x}\right\|\le \left\|{a}\right\|+\left\|{x-a}\right\|\le \left\|{a}\right\|+r}, donc {X} est borné.

Pour tous {x,y} de {X}, on a {d(x,y)\le d(x,a)+d(a,y)\le 2r}.

Il en résulte que {X} est de diamètre inférieur ou égal à {2r}.

On suppose bien sûr {E\ne\{0\}}.

Soit {h} un vecteur unitaire, et soit {\lambda\in[0,r[}.

Les vecteurs {x=a+\lambda h} et {y=a-\lambda h} sont dans {B(a,r)}.

De plus ils vérifient {\left\|{x-y}\right\|=2\lambda} qui décrit {[0,2r[}.

Exercice 5.
On pose, pour tous réels x,y, {N(,xy)=\displaystyle\sup_{0\le t\le 1}|x+ty|}.
Montrer que {N} est une norme. Représenter la boule unité fermée de centre {0}.
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Soient {u=(x,y)} et {v=(x',y')} quelconques dans {\mathbb{R}^2}.

  • La borne supérieure {N(u)} existe car elle représente le maximum (atteint au moins pour une valeur {t_0}) de l’application {t\mapsto\left|{x+ty}\right|}, définie et continue sur {[0,1]}.

  • On a évidemment l’inégalité {N(x,y)\ge0}. D’autre part : {\begin{array}{rl}N(x,y)=0&\Rightarrow(\forall t\in[0,1],\; x+ty=0)\\\\&\Rightarrow x=y=0\end{array}}(choisir {t=0} et {t=1}).
  • Pour tout réel {\lambda} :
    {\begin{array}{rl}N(\lambda u)&=\displaystyle\sup_{0\le t\le 1}\left|{(\lambda x)+t(\lambda y)}\right|=\displaystyle\sup_{0\le t\le 1}\left|{\lambda}\right|\,\left|{x+t y}\right|\\\\&=\left|{\lambda}\right|\displaystyle\sup_{0\le t\le 1}\left|{x+t y}\right|=\left|{\lambda}\right|N(u)\end{array}}
  • Pour tout réel {t} de {[0,1]} :
    {\begin{array}{rl}\left|{(x+x')+t(y+y')}\right|&\le\left|{x+ty}\right|+\left|{x'+ty'}\right|\\\\&\le N(u)+N(v)\end{array}}On peut alors passer à la borne supérieure dans {\left|{(x+x')+t(y+y')}\right|}.

    On a ainsi : {N(u+v)\le N(u)+N(v)}

L’application {u\rightarrow N(u)} est donc une norme sur {\mathbb{R}^2}.

Soit {u=(x,y)} un élément quelconque de {\mathbb{R}^2}.

Soit {\varphi\colon t\in [0,1]\to \left|{x+ty}\right|}.

L’application {\varphi^2} est positive convexe sur {[0,1]} (sa dérivée seconde est positive).

Elle atteint donc son maximum en {t=0} ou en {t=1}.

Il en est alors de même de {\varphi}. Ensuite : {\begin{array}{rl}N(u)\le1&\Leftrightarrow\begin{cases}\varphi(0)\le1\cr\varphi(1)\le1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\left|{x}\right|\le1\cr\left|{x+y}\right|\le1\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}-1\le x\le 1\cr -x-1\le y\le -x+1\end{cases}\end{array}}On en déduit la forme (ci-contre) de la boule unité fermée :une-norme-sur-r2