Boules ouvertes, boules fermées

Publié le 17/09/17

Exercice 1.
Soit {E} un espace vectoriel normé. Soit {a,b} dans {E} et {r,s} dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Montrer que {B(a,r)+B(b,s)=B(a+b,r+s)}.
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Exercice 2.
Soit {x\mapsto N(x)} et {x\mapsto N'(x)} deux normes sur un espace vectoriel {E}.
On suppose {B(0,1)\subset B'(0,1)}. Montrer : {\forall\, x\in E,\;N'(x)\le N(x)}.
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Exercice 3.
Soit {E} un espace vectoriel normé, et soit {F} un sous-espace de {E}.
On suppose que {F} contient une boule ouverte de rayon R\gt 0. Montrer {F=E}.
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Exercice 4.
Soit {E} un espace vectoriel normé.Montrer que toute boule (ouverte ou fermée) de rayon {r>0} est une partie bornée de diamètre {2r}.
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Exercice 5.
On pose, pour tous réels x,y, {N(,xy)=\displaystyle\sup_{0\le t\le 1}|x+ty|}.
Montrer que {N} est une norme. Représenter la boule unité fermée de centre {0}.
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