Un système linéaire

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2013)
Soit {\alpha, \beta,\gamma} les racines du polynôme {X^{3}+X+1=0}.
Résoudre le système linéaire {(S):\ \begin{cases} x+y+z=1\\\alpha x+\beta y+\gamma z=1\\\alpha^{2}x +\beta^{2}y +\gamma^{2}z =1\end{cases}}
On exprimera {x} en fonction de {\alpha}, {y} en fonction de {\beta}, et {z} en fonction de {\gamma}.
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On observe une grande symétrie dans le système {(S)}.
Il suffit donc de calculer {z}, par exemple. On trouve:
{\begin{array}{l}\begin{matrix}(S)\Longleftrightarrow\\L_{2}\leftarrow L_{2}-\alpha L_{1}\\L_{3}\leftarrow L_{3}-\alpha^{2} L_{1}\end{matrix}\begin{cases}x+y+z=1\\(\beta-\alpha)y+(\gamma-\alpha)z=1-\alpha\\(\beta^{2}-\alpha^{2})y +(\gamma^{2}-\alpha^{2})z =1-\alpha^{2}\end{cases}\\\\\begin{matrix}L_{3}\leftarrow L_{3}-(\beta+\alpha) L_{2}\\\Longleftrightarrow\end{matrix}\begin{cases}x+y+z=1\\(\beta-\alpha)y+(\gamma-\alpha)z=1-\alpha\\(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)z =(1-\alpha)(1-\beta)\end{cases}\end{array}}Ainsi {z=\dfrac{(1-\alpha)(1-\beta)}{(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)}=\dfrac{1-(\alpha+\beta)+\alpha\beta}{\gamma^{2}-(\alpha+\beta)\gamma+\alpha\beta}}.

Mais {P(X)=(X-\alpha)(X-\beta)(X-\gamma)=X^{3}+X+1}.

Par développement et identification, on trouve donc {\begin{cases}\alpha+\beta+\gamma=0\\\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=1\\\alpha\beta\gamma=-1\end{cases}}

Ainsi : {z=\dfrac{1+\gamma+\alpha\beta}{2\gamma^{2}+\alpha\beta}=\dfrac{1-\gamma-\gamma^{2}}{1-2\gamma^{3}}=\dfrac{1-\gamma-\gamma^{2}}{3+2\gamma}}.

Par symétrie : {x=\dfrac{1-\alpha-\alpha^{2}}{3+2\alpha}} et {y=\dfrac{1-\beta-\beta^{2}}{3+2\beta}}.