Orthocentre à l’origine

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2016)
Déterminer les nombres complexes tels que le triangle {ABC} dont les
sommets ont pour affixes respectives {z}, {z^{2}}, {z^{3}} ait l’origine pour orthocentre.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
NB: cet exercice de l’oral Mines-Ponts Psi 2016 n’est plus dans l’esprit du programme.

On commence par considérer les cas où deux au moins des points {A,B,C} sont confondus.

Il s’agit de {z\in\{0,1\}} (alors {A,B,C} sont confondus) ou {z=-1} (alors {A=B\ne C}).

On peut dire que {z=0} et {z=1} sont des solutions “limite” (triangle {ABC} réduit à un point).

Si {z\notin\{0,1,-1\}}, on écrit que {OA} est orthogonal à {BC}, et que {OB} est orthogonal à {AC}.

Ces conditions s’écrivent : {\arg\dfrac{z^3-z^2}{z}=\dfrac\pi2\pmod{\pi}\ \text{et}\ \arg\dfrac{z^3-z}{z^2}=\dfrac\pi2\pmod{\pi}}Posons {z=x+iy}, avec {(x,y)\in\mathbb{R}^2}. D’une part :{\begin{array}{rl}\arg\dfrac{z^3-z^2}{z}&=\dfrac\pi2\pmod{\pi}\Leftrightarrow\arg(z^2-z)=\dfrac\pi2\pmod{\pi}\\\\&\Leftrightarrow z^2-z=(x^2-y^2-x)+iy(2x-1)\in i\mathbb{R}\\\\&\Leftrightarrow x^2-y^2-x=0\Leftrightarrow\Big(x-\dfrac12\Big)^2-y^2=\dfrac14\end{array}}D’autre part :
{\begin{array}{rl}\arg\dfrac{z^3-z}{z^2}&=\dfrac\pi2\pmod{\pi}\Leftrightarrow\arg\dfrac{z^2-1}{z}\\\\&=\dfrac\pi2\pmod{\pi}\Leftrightarrow\dfrac{\overline{z^2-1}}{\overline{z}}=-\dfrac{z^2-1}{z}\\\\&\Leftrightarrow(\overline{z}^2-1)z=-\overline{z}(z^2-1)\\\\&\Leftrightarrow \overline{z}\left|{z}\right|^2-z=-z\left|{z}\right|^2+\overline{z}\\\\&\Leftrightarrow(z+\overline{z})(\left|{z}\right|^2-1)=0\\\\&\Leftrightarrow\mathbb{R}e(z)=0\text{\ ou\ }\left|{z}\right|=1\end{array}}Finalement les {z=x+iy} solutions sont donnés par :
{\begin{cases}x^2-y^2-x=0\\ x=0\end{cases}\ \text{ou}\ \begin{cases}x^2-y^2-x=0\\ x^2+y^2=1\end{cases}}Le premier système ne donne que {z=0}, solution déjà rencontrée.

Le deuxième donne : {\begin{array}{l}\begin{cases}x^2+y^2=1\\ 2x^2-x-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x^2+y^2=1\\ x=1\text{\ ou\ }x=-1\text{/}2\end{cases}\\\\\quad\Leftrightarrow z\in\{1,j,j^2\}\end{array}}Les solutions sont donc (outre {z=0} et {z=1}) {z=j} et {z=j^2} (pour lesquelles {ABC} est le triangle équilatéral de sommets les points d’affixes {1,j,j^2}).