Identifier une transformation de IR^3

Publié le 30/05/17

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2013)
Transformation géométrique associée à {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}?
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Les colonnes de {A} sont unitaires ({2^{2}+2^{2}+1=3^{2}}) et orthogonales deux à deux.

La matrice A est donc orthogonale ({A\in O(3)}). On trouve {\begin{array}{rl}AX=X&\Leftrightarrow \begin{cases}x-2y+z=0\\x+y+z=0\\x-2y+z=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}z=-x\\y=0\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\lambda w\text{\ où \ }w=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\text{\ et \ }\lambda\in\mathbb{R}\end{array}}Ainsi {f} est une rotation vectorielle d’axe la droite {D} engendrée par {w}.

Si {\theta} est une mesure de l’angle, on a {2\cos(\theta)+1=\text{tr}(M)=\dfrac{5}{3}} donc {\cos(\theta)=\dfrac{1}{3}}.

Pour trouver {\sin(\theta)}, il faut orienter {D}, par exemple par le choix du vecteur {w}.

On choisit {u=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}} unitaire orthogonal à {w}.
Alors {\sin(\theta)=\dfrac{1}{\left\|{w}\right\|}[w,u,f(u)]=\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\begin{vmatrix}1&0&2\\0&1&1\\-1&0&2\end{vmatrix}=\dfrac{2}{3}\sqrt{2}}.

Ainsi {\cos(\theta)=\dfrac{1}{3}} et {\sin(\theta)=\dfrac{2}{3}\sqrt{2}}, donc {\theta=\arccos\dfrac{1}{3}\in\Bigl]0,\dfrac{\pi}{2}\Bigr[}.