Une loi de probabilité

(cet exercice est issu de l’oral Tpe Psi 2015)
Soit {X} une variable aléatoire telle que {\forall\,k\in\mathbb{N}^{*},\;\mathbb{P}(X = k) =\dfrac{k-1}{2^{k}}}.

  1. Vérifier par le calcul que {\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\mathbb{P}(X = k) = 1}.
  2. Donner la fonction génératrice de {X}. Quel est son rayon de convergence ?
  3. La variable {X} admet-elle une espérance finie ? Si oui, que vaut-elle ?

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  1. Tout d’abord les {\mathbb{P}(X=k)} sont dans {\mathbb{R}^{+}}.

    Rappelons aussi que, pour tout {x} de {]-1,1[}, on a : {\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}kx^{k-1}=\biggl(\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}x^{k}\biggr)'=\biggl(\dfrac{1}{1-x}\biggr)'=\dfrac{1}{(1-x)^{2}}}On en déduit : {\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\mathbb{P}(X=k)&=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}(k-1)\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^{k}=\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}k\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^{k-1}\\\\&=\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{(1-1/2)^{2}}=1\end{array}}

  2. La fonction génératrice de {X} est définie par :
    {\begin{array}{rl}\text{G}_{X}(t)&=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\mathbb{P}(X=k)t^{k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}(k-1)\Bigl(\dfrac{t}{2}\Bigr)^{k}\\\\&=\dfrac{t^{2}}{4}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}k\Bigl(\dfrac{t}{2}\Bigr)^{k-1}=\dfrac{t^{2}}{4(1-t/2)^{2}}=\dfrac{t^{2}}{(2-t)^{2}}\end{array}}Le rayon de convergence de cette série entière est {R=2}.
  3. La fonction {G_{X}} est dérivable en {1}, donc {X} admet l’espérance finie {\text{E}(X)=G'_{X}(1)}.

    On trouve {G_{X}'(t)=2t(2-t)^{-2}+2t^{2}(2-t)^{-3}}, donc {\text{E}(X)=4}.

    Vérifions le résultat par un calcul directement, sachant que :
    {\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{k=2}^{+\infty}k(k-1)x^{k-2}=\biggl(\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}x^{k}\biggr)''=\biggl(\dfrac{1}{1-x}\biggr)''=\dfrac{2}{(1-x)^{3}}\end{array}}On obtient bien : {\begin{array}{rl}\text{E}(X)&=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}k\,\mathbb{P}(X=k)t^{k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}k(k-1)\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^{k}\\\\&=\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum_{k=2}^{+\infty}k(k-1)\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^{k-2}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{(1-1/2)^{3}}=4\end{array}}