Un endomorphisme de matrices

Publié le 20/05/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2016)
Soient {A} et {B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. Soit {\varphi} défini par : {\varphi(M)=AM-MB}.

  1. Montrer que si {\alpha\in\text{Sp}(A)} et {\beta\in\text{Sp}(B)}, alors {\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}.
  2. Si \varphi(M)=\lambda M, montrer que : {\forall\, P\in \mathbb{R}[X]}, {P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}.

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