Étude de séries entières

Publié le 04/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
Soient {(u_{n})_{n\ge0}} le terme général d’une suite absolument convergente.
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose {s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}.

  1. Préciser les rayons de convergence de {U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}} et {S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}.
  2. Trouver une relation entre {U'}, {S} et {S'}.
  3. On suppose que {s_{n}} tend vers une limite {\ell} quand {n\to+\infty}.
    Montrer que {\text{e}^{-x}S(x)} tend vers une limite, à préciser, quand {x\to+\infty}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé