L’urne d’Ehrenfest, épisode 5

Publié le 06/02/17

Pour les notations, revoir l’épisode 1, l’épisode 2, l’épisode 3, et l’épisode 4.
On s’intéresse à la possibilité que l’urne retrouve un jour sa composition initiale.
On dit que l’urne est “dans l’état {i}” si elle contient {i} boules bleues.
On note {\tau_{i,j}} le temps d’attente du premier passage dans l’état {i} en provenance de l’état {j}.

  1. Pour {n\ge2}, montrer que : {\mathbb{P}(\tau_{i,j}=n)=\displaystyle\sum_{k\ne i}a_{k,j}\,\mathbb{P}(\tau_{i,k}=n-1)}.
  2. En déduire les relations {(R_{j}) :\ \text{E}(\tau_{i,j})=1+\displaystyle\sum_{k\ne i}a_{k,j}\,\text{E}(\tau_{i,k})}.
  3. En les combinant, montrer que {\text{E}(\tau_{i,i})=\dfrac{1}{\pi_{i}}}, où {\pi_{i}=\dfrac{1}{2^{N}}\dbinom{N}{i}}.
  4. Expérimenter avec Python.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé