L’urne d’Ehrenfest, épisode 3

Pour les notations, revoir l’épisode 1 et l’épisode 2.

  1. Déterminer le spectre et une base {(Q_{0},Q_{1},\ldots,Q_{N})} de diagonalisation de {\varphi}.

    On notera {\lambda_{0}>\lambda_{1}>\cdots>\lambda_{N}} les valeurs propres, et on choisira {Q_{k}} unitaire.

  2. On dit que V=(v_i)\in\mathbb{R}^{N+1} est stochastique si les v_i\ge0 et {\displaystyle\sum_{i=0}^{N}v_i=1}.
    Montrer que le seul vecteur stochastique V invariant par A est :
    V=\dfrac{1}{2^N}\biggl(\binom{N}{0},\binom{N}{1},\ldots,\binom{N}{N}\biggr)Donner une interprétation probabiliste de ce résultat.
  3. Illustrer avec Python les variations éventuelles des lois X_n, quand on part de la loi initiale de X_0 (qui pourra être constante, uniforme, binomiale, etc.)

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  1. Soit {\lambda\in\mathbb{C}}. On a les équivalences :
    {\begin{array}{rl}\varphi(U)=\lambda U&\Leftrightarrow (X^{2}-1)U'=N(X-\lambda)U\\\\&\Leftrightarrow \dfrac{U'}{U}=\dfrac{N(1-\lambda)}{2(X-1)}+\dfrac{N(1+\lambda)}{2(X+1)}\end{array}}Les racines de {Q} sont donc :

    • x_{1}=1 avec la multiplicité {k=\dfrac{N(1-\lambda)}{2}}

    • x_2=-1 avec la multiplicité {k'=N-k=\dfrac{N(1+\lambda)}{2}}

    Cela exige {k\in[[0,N]]}.

    On trouve ainsi les {\lambda_{k}=1-\dfrac{2k}{N}}, avec {0\le k\le N}.

    Ces {N+1} valeurs propres sont distinctes.

    Un vecteur propre associé à {\lambda_{k}} est {Q_{k}=(X-1)^{k}(X+1)^{N-k}}.

    La famille {(Q_{k})_{0\le k\le N}} constitue donc une base de diagonalisation de {\varphi}.

    Matriciellement, on a obtenu : {\text{Sp}(A)=\text{Sp}({A}^{\top})=\Big\{1-\dfrac{2k}{N},\;0\le k\le N\Big\}}.

  2. On sait que le sous-espace propre de \varphi (donc de A) pour \lambda=1 est une droite.

    Pour \varphi, cette droite est engendrée par {Q_0=(X+1)^N=\displaystyle\sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}X^k}.\

    Pour A, elle est donc engendrée par V_0=\biggl(\binom{N}{0},\binom{N}{1},\ldots,\binom{N}{N}\biggr)La somme des coefficients de V_0 est 2^N.

    Le seul vecteur stochastique invariant par la matrice A est donc : V=\dfrac{1}{2^N}V_0=\dfrac{1}{2^N}\biggl(\binom{N}{0},\binom{N}{1},\ldots,\binom{N}{N}\biggr)

    Un vecteur stochastique de \mathbb{R}^{N+1} représente la loi d’une v.a.r à valeurs dans [[0,N]].

    Le vecteur V représente ici la loi binomiale \mathcal{B}(N,1/2).

    Le résultat précédent affirme donc que si le remplissage initial de l’urne (du point de vue du nombre de boules bleues) suit la loi binomiale \mathcal{B}(N,1/2), alors la variable X_n (nombre de boules bleues après n manipulations) suit encore la distribution binomiale \mathcal{B}(N,1/2).

    Plus précisément, la loi binomiale \mathcal{B}(N,1/2) est la seule qui ait cette propriété.

  3. Rappelons la définition de la matrice A (ici d’ordre N+1:

    Et par exemple avec N=4 (donc la matrice est d’ordre 5:

    On définit de fonctions permettant de créer des vecteurs stochastique de \mathbb{R}^{N+1} représentant quelques lois usuelles.

    D’abord la loi uniforme sur [[0,N]] :

    Puis une loi constante :

    Ou encore un vecteur stochastique aléatoire :

    Enfin une loi binomiale :

    La fonction X prend en argument une loi (au sens précédent), considérée comme la loi de X_0, un naturel n (le nombre de manipulations) et elle renvoie la loi de X_n :

    Par exemple, si X_0 suit la loi \mathcal{B}(4,1/2), on constate que X_5 suit encore cette même loi binomiale (c’était prévu) :

    Mais si X_0 suit par exemple \mathcal{B}(4,1/4), la loi de X_5 est différente :

    La fonction traceloi représente une loi discrète à valeurs dans [[0,N]].

    Elle prend en argument le vecteur U représentant cette loi, un indice k facultatif (permettant de numéroter le figure sauvegardée) et un argument maxi facultatif (par défaut 1) indiquant le maximum des ordonnées (s’il est omis, la fonction choisit le maximum de U).

    Cette fonction sauvegarde la figure sous le nom “X00k” (où k est le deuxième paramètre).

    Enfin la fonction ehrenfest (qui comme la fonction X, attend une “loi” et un entier n) appelle la fonction X avec un deuxième indice k décrivant [[0,N]].

    Sont ainsi affichées et sauvegardées les images des lois X_k, pour 0\le k\le N :

    Nous allons maintenant prendre quelques exemples.

    D’abord la loi de X_0 est choisie “au hasard” (avec N=4) :

    Voici les lois de X_0,X_1,X_2,X_3 :

    Attendons un peu, voici la loi de X_{100} :

    Puis celle de X_{101} (rien à voir, a priori) :

    Surprise, la loi de X_{102} est égale à celle de X_{100}!

    Bien sûr la loi de X_{103} serait égale à celle de X_{101}, aux erreurs d’arrondi près.

    Cette périodicité ultime est une conséquence de la nature du spectre de la matrice A (toutes les valeurs propres sont dans [[0,1]], et 1 et surtout -1 sont valeurs propres).

    Terminons par un exemple graphique.

    On commence par une distribution initiale aléatoire X_0 (ici N=50).
    On trace cette distribution

    On trace cette distribution :
    article-04-02-17-a
    Puis on trace la distibution X_1:

    article-04-02-17-b
    Puis la distibution X_{10} :

    article-04-02-17-c
    Puis la distibution X_{100}:

    article-04-02-17-d
    Et enfin la distibution X_{101}:

    article-04-02-17-e
    La suite des distributions X_N tend à devenir 2-périodique.